Para mostrar los ceros de las funciones son distintas

Question

Muestran que los ceros de las funciones de $a \sin(x) + b \cos(x)$ $c \sin(x) + d \cos(x)$ son distintos y se producen alternativamente si $ad-bc \ne 0$.

Creo que es necesario el uso de Sturm teorema de separación. Necesito mostrar que estas dos funciones son linealmente independientes. Esto me da la sugerencia de utilizar wronskian. Es esto bastante para mostrar esto?

Answer 1

Aquí una primaria de la prueba mediante el contrapositivo: Supongamos que para algunos $x_0$ hemos $$a\sin x_0+b\cos x_0=0\hspace{.4cm}\text{ and }\hspace{.4cm}c\sin x_0+d\cos x_0=0.$$ En términos de la matriz de rotación $R_{x_0}=\left(\begin{array}{cc}\cos x_0&-\sin x_0\\ \sin x_0&\cos x_0\end{array}\right)$ esto significa que $$ R_{x_0}\binom{a}{b}=\binom{\alpha}{0}\hspace{.4cm}\text{ y }\hspace{.4cm}R_{x_0}\binom{c}{d}=\binom{\beta}{0} $$ para algunos $\alpha, \beta$. En particular, esto nos dice que las imágenes de $\binom{a}{b}$ $\binom{c}{d}$ bajo una rotación son colineales, por lo $\binom{a}{b}$ $\binom{c}{d}$ debe ser así, y entonces tenemos que tener en $$ad-cb=\det\left(\begin{array}{cc}a&c\\ b&d\end{array}\right)=0.$$

Edit: Aviso que este argumento también funciona al revés, así que uno puede reformular con el fin de obtener una prueba directa. Se sentía más natural para mí, para expresarlo de esta manera.

Answer 2

Bueno, usted no necesita nada difícil: suponga que

$$ A = \sqrt{a^2 + b^2}, \qquad C = \sqrt{c^2 + d^2}: $$

obviamente tenemos

$$ -1 \leq \frac aA \leq 1 , \qquad -1 \leq \frac bA \leq 1 , \qquad \Big(\frac aA \Big)^2 + \Big(\frac bA \Big)^2 = 1; $$

y

$$ -1 \leq \frac cC \leq 1 , \qquad -1 \leq \frac dC \leq 1 , \qquad \Big(\frac cC \Big)^2 + \Big(\frac dC \Big)^2 = 1. $$

Así que usted puede encontrar dos ángulos $\ \alpha , \ \gamma \ $ $\ \frac{- \pi}2 \leq \alpha , \ \gamma \leq \frac{ \pi}2 \ $ tal que

$$ \cos(\alpha) = \frac aA , \qquad \sin(\alpha) = \frac bA , \qquad \cos(\gamma) = \frac cC , \qquad \sin(\gamma) =\frac dC . $$

Así que nuestras funciones se puede escribir como

$$ f_1(x) = \sin (x + \alpha), \qquad f_2(x) = C\sin (x + \gamma), $$

y sus ceros puede ser escrito explícitamente como

$$ x_k = k\pi \alpha, \qquad x'_k = k\pi \gamma. $$

Son el mismo, sólo si $\ \alpha = \gamma,\ $ o $\ \alpha = - \gamma = \frac {\pi}2,\ $ o $\ \alpha = - \gamma = -\frac {\pi}2\ $, en los casos en que su igualdad es trivial.

Answer 3

Podemos suponer $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{c^2+d^2}=1$, por lo tanto $$a=\cos\alpha,\quad b=\sin\alpha,\quad c=\cos\beta,\quad d=\sin\beta$$ para ciertos ángulos.$\alpha$, $\beta$. A continuación, las funciones $$f(x)=a\sin x+b\cos x=\sin(x+\alpha),\qquad g(x):=c\sin x+d\cos x=\sin(x+\beta)$$ tienen diferentes, y alternando, ceros iff $\beta-\alpha\ne0$ modulo $\pi$, es decir, iff $\sin(\beta-\alpha)=ad-bc\ne0$.