¿De dónde "Aditividad" además de la teoría de la medida?

Question

Las propiedades de "aditividad" o "$\sigma$-aditividad" parecen ser bastante localizada fenómenos a primera vista, específico para las medidas acorde a las generalizaciones de aquellos.

Deje $L$ ser una celosía. Elementos de la $x,y\in L$ son disjuntos, si $x\wedge y = \bot$ (el elemento más pequeño). Un mapa de $f : L \to M$ en algunos conmutativa monoid $M$ es aditivo, si $f(x \vee y) = x + y$ siempre $x,y$ son disjuntas. Algo similar se puede hacer con $\sigma$-aditividad, donde $M$ es una completa monoid.

Me siento como debería ser algunos ejemplos interesantes, donde $L$ no es sólo un conjunto de conjuntos ordenados por $\subseteq$. Así:

¿De dónde "Aditividad" además de la teoría de la medida?

(Más problema básico es quizás el hallazgo de los casos, donde disjointness es útil. He aquí dos ejemplos: $x,y\in \mathbb Z_{\geq 0}$ son disjuntas w.r.t. a $\mid$, si son coprime; los subgrupos $M,N\subseteq G$ son distintos, si $M\cap N \cong 1$. Totalmente de conjuntos ordenados, disjointness es, por supuesto, bastante aburrido).

Answer 1

En algún nivel emocional, la prueba en la página 17 de este documento$^{\,\large\dagger}$ es mi parte favorita de ella con la Sección 4.2, en las páginas 17 a 22 de seguir muy de cerca. Esto es acerca de la aditividad-sin adición de estructuras que no son celosías pero tienen algunas cosas en común con ellos. El objetivo es explicar por qué la suma de las probabilidades debe aplicar cuando las probabilidades son puramente epistémica, de modo que uno no tiene frecuencias relativas o proporciones de poblaciones, etc.

Si esta es la "teoría de la medida" puede ser algo que uno podría argumentar acerca de.

$\dagger$ Mi papel "Escala de Álgebras Booleanas", los Avances en la Matemática Aplicada, 2002. (Un archivo pdf.)

Answer 2

He aquí un ejemplo que no es, ciertamente, de la teoría de la medida:

Considerar la estructura de la red en los enteros positivos dados por la divisibilidad. Es decir, $x \leq y$ si $x | y$. Aquí la conoce y se une a están dadas por lcms y gcds, respectivamente, por lo que "separe" significa "relativamente primos." A continuación, un aditivo (resp. multiplicativo) de la función en el sentido de la teoría de números es, precisamente, un aditivo de la función en este entramado con codominio de los enteros menores de adición (resp. la multiplicación).