La transformada de Fourier no es sobreyectiva utilizando el teorema de la cartografía de Oppen.

Question

Sé que es posible demostrar que la transformada de Fourier $\displaystyle\mathcal{F}: (L^1(\mathbb R),\|\cdot\|_1) \to (\{f\in C(\mathbb R): \lim_{|x|\to\infty} f(x) = 0\}, \|\cdot\|_\infty)$ no es suryectiva utilizando el teorema del mapa abierto. ¿Pero cómo se hace exactamente? Sé que $\mathcal{F}$ es continua. Aplicando el teorema del mapa abierto, $\mathcal{F}$ sería un mapeo abierto si fuera suryente. Así que tenemos que demostrar que $\mathcal{F}$ no está abierto, ¿verdad? ¿Pero cómo lo hacemos?

Answer 1

Los mapas de la transformada de Fourier $L^1$ inyectada en $C_0.$ Si el mapa fuera onto, entonces sería abierto por el teorema de los mapas abiertos. Por lo tanto, la inversa del FT sería continua en $C_0.$ Al tratarse de operadores lineales sobre espacios lineales normados, se deduce que existe una constante $c>0$ tal que $\|\mathcal {F}(f)\|_\infty \ge c \|f\|_1$ para todos $f\in L^1.$ Para demostrar que esto falla, hay que demostrar que hay una secuencia $f_n$ en $L^1$ tal que $\|f_n\|_1 = 1$ para todos $n,$ mientras que $\|\mathcal {F}(f_n)\|_\infty \to 0.$ (En este momento no recuerdo cómo hacerlo. En el caso del FT en el círculo, puede tomar $f_n = D_n/\|D_n\|_1,$ donde $D_n$ es el $n$ Dirichlet).