Tengo curiosidad, ¿cómo comunes funciones trigonométricas se ponen en práctica para dos números? Una forma sería la de utilizar el poder de la serie de la definición, pero que parece ineficiente
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Supongamos $x=u+v\varepsilon$ donde$u,v\in\mathbb C$$\varepsilon\ne0=\varepsilon^2$. \begin{align} \sin x & = x - \frac{x^3} 6 + \frac{x^5}{120} - \frac{x^7}{5040} + \cdots \\[8pt] & = (u+v\varepsilon) - \frac{u^3 + 3u^2 v\varepsilon}6 + \frac{u^5 + 5u^4 v\varepsilon}{120} - \frac{u^7+7u^6 v\varepsilon}{5040} + \cdots \tag 1 \\[8pt] & = \sin u + v\varepsilon\left(1 - \frac{u^2}{2} + \frac{u^4}{24} - \frac{u^6}{720} +\cdots\right) \\[8pt] & = \sin u + v\varepsilon\cos u. \end{align} En $(1)$, simplemente estoy aplicando el teorema del binomio, y la mayoría de los términos se desvanecen.
Y así en $\ldots\ldots$
El poder de la serie aquí no para la informática, pero para establecer la identidad trigonométrica $$ \sin(u + v\varepsilon) = \sen u + v\varepsilon\cos u $$ siempre que $\varepsilon$ es un no-cero objeto cuyo cuadrado es $0$ y no hay suficiente conmutatividad. Por ejemplo, cuando se multiplican las matrices, que no conmuta con cada uno de los otros pero cuando se multiplica una matriz por un escalar, aquellos que lo hacen.
user48672
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También se puede iniciar desde el argumento, además de fórmulas y proceder a evaluar sólo $\sin (\epsilon) , \cos (\epsilon), \tan (\epsilon), \cot(\epsilon)$. A continuación, puede evaluar las funciones de sus expansiones de Taylor. Que es $\cos (\epsilon) = 1$, $\sin (\epsilon)= \epsilon$, $\tan (\epsilon)= \epsilon $ pero $\cot (\epsilon)$ es indefinido porque $\epsilon$ no tiene un inverso.
