El papel de los tensores y las matrices en la relatividad general

Question

En primer lugar, yo, básicamente, sólo quiero saber lo que exactamente cuál es la diferencia entre los tensores y las matrices?

Segundo, en busca de una aclaración en los siguientes dos (posiblemente confundido) los pensamientos) de mi cuenta en esto, que siga aquí.

(1) yo estaba básicamente enseñaron en la escuela que un tensor es cualquier objeto que se transforma a medida:

$T_{\alpha \beta }^{'}\rightarrow \frac{\partial x _{\alpha }^{'}}{\partial x _{\alpha }} \frac{\partial x _{}\beta ^{'}}{\partial x _{}\beta } T_{\alpha \beta }$

Sin embargo, ¿es correcto que no todas las matrices seguir esta transformación de la ley? Significado de todos los tensores pueden ser representados como matrices, pero no todas las matrices son necesariamente los tensores? (Por lo tanto, ESTA es la diferencia entre las matrices y tensores?)

Sin embargo, si que es cierto, es que parece un poco flojo para decir las matrices de los tensores de rango 2, si, de hecho, todas las matrices, en realidad no la transformación de los tensores, y por lo tanto no tensores?

(2) ¿Es correcto que una de las cosas de la ley general de la covarianza que dice es que si un tensor ecuación es verdadera en un marco, entonces es cierto en todos los marcos? En segundo lugar, es esto lo hizo posible por el tensor de la transformación de la ley?

Answer 1

Sin embargo, si que es cierto, es que parece un poco flojo para decir las matrices de los tensores de rango 2

Donde has leído eso?

Una matriz es un arreglo rectangular de números, símbolos o expresiones dispuestos en filas y columnas. Por ejemplo, las dimensiones de un 2 × 3 matriz de dos filas y tres columnas.

Los tensores son objetos geométricos que describen lineal de las relaciones entre geométrica de vectores, escalares y otros tensores. Ejemplos de este tipo de relaciones incluir el producto escalar, la cruz de producto, lineales y mapas.

Por encima de las definiciones de la Wikipedia.

Si usted mira la Ecuación de Einstein:

$${\displaystyle R_{\mu \nu }-{1 \over 2}{Rg_{\mu \nu }}+\Lambda g_{\mu \nu }=8\pi {G \over c^{4}}T_{\mu \nu }} $$

Debido a que esta ecuación está escrita en forma tensor, es cierto en todos los marcos.

¿Es correcto que una de las cosas de la ley general de la covarianza que dice es que si un tensor ecuación es verdadera en un marco, entonces es cierto en todos los marcos? En segundo lugar, es esto lo hizo posible por el tensor de la transformación de la ley?

Sí, sí y sí. Los tensores, debido a sus propiedades de transformación, son esenciales en la escritura GR relacionados con ecuaciones.

En comparación, una matriz es básicamente un libro de mantener el ejercicio.

Esta misma pregunta es cubierto en las Matrices y Tensores en MathSE.

Este extracto de Tensores por James Rowland es una mejor descripción que puedo dar. Es más de lo que me gustaría citar, pero informativo, de la omi. Mi tablet, por alguna razón, no se copia el enlace, pero es fácil de encontrar. Mis disculpas por esto.

Observe cómo en mi ejemplo para un tensor de rango 2 especifica una base para trabajar. En este punto se podría pensar que una matriz es un tensor de rango 2, o que un vector es un tensor de rango 1. Esto no es del todo correcto. Estos son representaciones de los tensores en alguna base. El tensor es más general, cosa que no se preocupa de la base a la que se trabaje. Si usted tiene la representación de un tensor de rango 1 en alguna base (un vector), se puede obtener la representación en otra base por transformación de coordenadas. Al cambiar las bases, debe cambiar la representación de su tensor v → P. v, y ambos de estos vectores representan el mismo rango 1 tensor en alguna base. Una matriz no cambia al cambiar las bases. Es una tontería decir "la matriz $P^{−1}AP$ es la matriz a en alguna base", a menos que P es la matriz de identidad. Sin embargo, si a representa el tensor de rango 2 B en alguna base, entonces la matriz $P^{−1}AP$ representa B en otra base. La clave aquí es tener en cuenta la diferencia entre un tensor y su representación. Cuando se especifica una dirección y la distancia a su casa por medio de señas, aviso que no se refieren a un sistema de coordenadas. Si usted decidió sus coordenadas son: Norte, Este, y distancia desde el centro de la Tierra, entonces usted puede especificar un vector que representa la dirección en la que tu brazo está señalando. Ahora, si cambia a un sistema de coordenadas basado en el Sur, el Oeste, y hacia el centro de la Tierra, las coordenadas de todos los que se volcó, pero su brazo todavía apunta en la misma dirección.

Una dirección no depende de un sistema de coordenadas, las coordenadas hacer. [Mi énfasis]

Answer 2

No sé donde has leído a nadie lo que implica que todas las matrices son los tensores, pero tienes razón, para definir los tensores por su transformación en ley. (Como un ejemplo muy simple de una matriz que no es un tensor en la relatividad general, tome $\sqrt{\left|g\right|}g_{\mu\nu}$, un tensor densidad de peso $1$.) También tienes derecho a pensar que tensorial ecuaciones son invariantes bajo cambios arbitrarios en la elección de coordenadas; esto es lo que el "general" en la relatividad general se refiere.

Answer 3

1) Una matriz es, literalmente, nada más que un mapa: $\mathbb{N}_m\times\mathbb{N}_n\rightarrow R$ donde $\mathbb{N}_m$ es un subconjunto de a $\mathbb{N}$ que contiene $m$ elementos distintos, y $R$ es un anillo conmutativo (puede tomar la $R$ no conmutativa así tbh, el caso es que cuando diferenciales utilizando el formulario de valores de las matrices, por ejemplo).

Si usted está siendo más general acerca de esto, no tiene que ser un mapa binario, entonces se produce "matrices" que están indexadas por más de uno o dos números naturales. Un ejemplo de una matriz que no es un tensor de la conexión coeficientes/símbolos de Christoffel $\Gamma^\sigma_{\mu\nu}$. Usted puede ver esto como una más general de la matriz, o como una colección de costumbre 'binario' matrices, una para cada valor de $\mu$, pero estos componentes no se transforma tensorially.

Un tensor, dependiendo de donde usted viene de por sí tiene más geométrica o algebraica contenido de una matriz. Desde el punto de vista geométrico, tensores pueden ser identificados con matrices, pero sólo si el indicador de fijar un marco y la satisfacción de ciertas reglas de transformación, uno de los cuales tú has dicho en tu post. Desde el algebraicas punto de vista, el espacio de tensores para satisfacer lo que se llama el universal de la factorización de la propiedad, declaró como

Universal de la factorización de la propiedad: Vamos a $(V\otimes W,p)$ ser el producto tensor de los espacios vectoriales $V$$W$. Entonces para cualquier aplicación multilineales $A:V\times W\rightarrow X$, no existe un único lineal mapa de $A^\otimes:V\otimes W\rightarrow X$ tal que $A=A^\otimes\circ p$ .

2) me parece imposiblemente difícil explicar esto sin el uso principal de los haces de fibras, pero el concepto de "covarianza" no es tan simple. Aquí hay varias declaraciones:

• Una ecuación entre dos componentical objetos siempre es marco-independiente, si los dos objetos de transformación igualmente durante el cambio de marco. Si dos spinors son iguales en algunos marco, que son iguales en otros marcos así. Si dos densidades son iguales en algunos marco, que son iguales en otros marcos así. Si dos conexiones son iguales en algunos marco, que son iguales en otros marcos así.

• Debido a que los tensores de transformación homogénea, si un tensor es de cero en algunos marco, entonces es cero en el resto de fotogramas así. Pero, esto no es exclusivo de los tensores, por ejemplo, las densidades de transformar de forma homogénea, así que esto es cierto para ellos.

• La afirmación anterior implica que un tensor de la ecuación se reduce a cero ($S=T\Leftrightarrow S-T=0$) se mantiene durante el cambio de marco. Tenga en cuenta que esto es una vez más no es único de los tensores. Las conexiones no se transforma de forma homogénea, por lo $\Gamma^\sigma_{\ \mu\nu}=0$ es no un marco independiente de la ecuación, pero si $\Gamma$ $\omega$ son conexiones, a continuación, $\Gamma^\sigma_{\ \mu\nu}-\omega^\sigma_{\ \mu\nu}=0$ es marco independiente, debido a que la diferencia entre dos conexiones de transformación homogénea (bueno, tensorially, de hecho, pero homogéneo sería suficiente).

• El de arriba muestran que el habitual shizzle acerca de "general covarianza" no es suficiente para solucionar los tensores como objetos de interés. La cosa acerca de los tensores es que sus componentes (multi)lineal dependencia de las direcciones. Esto es algo que ni densidades ni conexiones poseen (spinors tipo de hacer, pero que es un asunto muy diferente). $$\ $$ Por esta razón, los tensores se utilizan para representar cantidades físicas que dependen linealmente de una o más direcciones. Estas son las cantidades que son: 1) marco-independiente 2) posible de ser medido pointwise. Por el contrario, las densidades son usados para representar cantidades físicas para que sólo las integrales son frame-independiente y conexiones se utilizan para representar la física cuantica que son inherentemente marco-dependiente (el campo gravitatorio, por ejemplo).

Ahora, utilizando la más avanzada de la terminología, yo diría que una clase de campos es covariante con respecto a una Mentira grupo $G$, si existe un director haz de fibras $(P,\pi,M,G)$, de tal manera que $G$ admite una representación $\rho:G\rightarrow GL(k)$ ($GL(k)$ puede ser real o complejo lineal general de grupo) y de tal manera que las áreas en cuestión son las secciones de asociado un vector paquete de $(P\times_\rho \mathbb{F}^k,\pi,M,\mathbf{F}^k,\rho(G))$.

Para $P=F(M)$ el marco de paquete, $G=GL(n,\mathbb{R})$ $\rho$ contragredient y producto tensor representaciones fundamentales de la representación, esto produce tensores y para $\rho:G\rightarrow GL(1,\mathbb{R}),\ \rho(A)=|\det(A)|\cdot$, esto produce escalar densidades de peso 1, por lo que estos objetos son todos los "colectivos" con respecto a $GL(n,\mathbb{R})$, pero por ejemplo las conexiones sentarse fuera de este marco.

Answer 4

Un tensor de campo con 2 índices de abajo es un varían suavemente campo $B(-,-)$ sobre una suave colector $M$, que está en un punto de $x \in M$:

$B_x(-,-): T_x \times T_x \to \mathbb{R}$

donde $T_x$ es el espacio de la tangente de $M$$x$. Como un ejemplo de que, una métrica $g$ es un tensor, y una forma simpléctica es otro ejemplo.

Del mismo modo, un tensor de campo con 1 índice de seguridad y 1 el índice de abajo es de una suavidad variable de campo en Un(-) que se encuentra a un punto de $x \in M$:

$A_x(-): T_x \to T_x$.

Así que un tensor de campo con 2 índices de abajo es un campo de bilineal mapas en cada espacio de la tangente, mientras que un tensor de campo con 1 índice de seguridad y 1 el índice de abajo es un campo de lineal endomorphisms en cada espacio de la tangente.

De manera más general, el tensor de campos son campos de elementos de algún producto tensor de un número de copias del espacio de la tangente con un número de copias de su doble. Intuitivamente, como el colector de curvas, el tensor de campos a la curva en consecuencia. Este es el significado intuitivo de la transformación de las leyes.

Una sola matriz con entradas de constantes puede ser pensado como un campo en un punto único (si uno quiere pensar en ello de esa manera), pero el espacio de la tangente de un solo punto es sólo 0. De modo que una única matriz no es un campo tensorial.

Sin embargo, dado un tensor de campo, de uno de los 2 tipos anteriores, y dado cualquier punto de $x \in M$, con respecto a alguna base de $T_x$, se puede representar el valor del tensor de a $x$ por una sola matriz. Lo que en este sentido, un campo tensorial de uno de los 2 tipos se puede pensar en coordenadas locales, como un campo de n por n matrices, donde $n = \dim M$.

Pensé en presentar de una forma más geométrica respuesta, aunque estoy totalmente de entender si la cooperativa puede preferir una respuesta que es dicho de una manera más física idioma. Se puede proporcionar un punto de vista alternativo, aunque.