Tensor de categorías cocompletas

Question

Dejemos que $C$ , $D$ y $E$ sean categorías cocompletas.

¿Existe una construcción $C \otimes D$ tal que existe una correspondencia entre los funtores $C \otimes D \to E$ preservando colimits y funtores $C \times D \to E$ preservando los colímetros en cada uno de sus componentes ("bilineal")? ¿Cómo puedo construirlo? ¿Por qué no?

Answer 1

Para simplificar, hablaré de categorías con colímetros de $\kappa$ -diagramas pequeños, donde $\kappa$ es un cardenal regular. En concreto, consideremos la siguiente categoría $\mathbf{K}$ :

• Los objetos son pequeñas categorías equipadas con elegido $\kappa$ -coproductos y coigualadores de pares paralelos.
• Los morfismos son funtores que estrictamente preservar los colímetros elegidos.

Con argumentos estándar, $\mathbf{K}$ es un localmente $\kappa$ -Categoría presentable. Objetos dados $\mathcal{A}$ , $\mathcal{B}$ y $\mathcal{C}$ en $\mathbf{K}$ , definan el siguiente conjunto: $$\mathbf{K} (\mathcal{A}, \mathcal{B} ; \mathcal{C}) = \{ F \in \mathrm{Fun} (\mathcal{A} \times \mathcal{B}, \mathcal{C}) : F \text{ strictly preserves colimits in each variable} \}$$ Es fácil ver que $\mathbf{K} (\mathcal{A}, \mathcal{B} ; -) : \mathbf{K} \to \mathbf{Set}$ conserva todos los límites y también $\kappa$ -colímetros filtrados. Así, por el teorema del functor adjunto accesible, está representado por algún objeto $\mathcal{A} \otimes \mathcal{B}$ en $\mathbf{K}$ . Desgraciadamente, aquí todo es estricto, así que esto no hace lo que queremos.

La cuestión central es la siguiente: dados los objetos $\mathcal{C}$ y $\mathcal{D}$ en $\mathbf{K}$ puede haber funtores $\mathcal{C} \to \mathcal{D}$ que preservan (hasta el isomorfismo) los colímetros de $\kappa$ -Pequeños diagramas que son no es isomorfo a cualquier functor $\mathcal{C} \to \mathcal{D}$ que estrictamente preservar los colímetros elegidos. Si entiendo bien la teoría general, esto se puede arreglar: existe un objeto $\tilde{\mathcal{C}}$ en $\mathbf{K}$ y un morfismo $p : \tilde{\mathcal{C}} \to \mathcal{C}$ en $\mathbf{K}$ que es totalmente fiel y esencialmente suryectiva sobre objetos tales que hay suficientes morfismos $\tilde{\mathcal{C}} \to \mathcal{D}$ .

Por lo tanto, dado $\mathcal{A}$ y $\mathcal{B}$ en $\mathbf{K}$ el producto tensorial deseado no es $\mathcal{A} \otimes \mathcal{B}$ sino más bien $\tilde{\mathcal{A}} \otimes \tilde{\mathcal{B}}$ . Me temo que no tengo una descripción más explícita de esta categoría, pero todo esto es básicamente una versión mejorada de la construcción habitual de productos tensoriales por generadores y relaciones.