Función de Von Mangoldt Serie de Dirichlet

Question

La serie de Dirichlet para la función de Vonmangoldt, $\Lambda(n)$ que es igual a cero cuando $n$ no es una potencia principal, y $ln(p)$ cuando es una potencia principal digamos, $n=p^j$ es

$$-\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\Lambda(k)}{k^s}$$

Dónde $\zeta(s)$ es la función zeta, y $\zeta'(s)$ es la derivada de la función zeta con respecto a s,

Pero quiero saber si existe una expresión de forma cerrada para la suma $$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\Lambda(3k-2)}{(3k-2)^s}$$

Tal vez en términos de polilogaritmos o funciones zeta de Hurrwiz, o alguna otra función especial, además ¿hay incluso expresiones de forma cerrada para sumas generales de la forma? $$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\Lambda(ak+b)}{(ak+b)^s}$$

es decir, pueden expresarse en términos de funciones especiales conocidas como la función zeta de Hurrwitz o los polilogaritmos y o sus derivadas.

Parece que sería difícil de hacer, porque entonces tendrías esencialmente expresiones para funciones que suman sobre primos divididas en clases de congruencia, lo que por sí mismo parece muy "anatral".

Answer 1

Si $\chi$ es un carácter modulo $q$ entonces la derivada logarítmica del Dirichlet asociado $L$ -La función satisface $$ - \frac{L'(s,\chi)}{L(s,\chi)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)\chi(n)}{n^s}. $$ Entonces, la misma combinación lineal utilizada para expresar $L(s,\chi)$ en términos de funciones zeta de Hurwitz puede utilizarse aquí para aislar la clase de residencia deseada (cuando $(q,b)=1$ al menos - si no, se puede simplificar a mano): $$ \sum_{k=0}^\infty \frac{\Lambda(qk+b)}{(qk+b)^s} = \sum_{n\equiv b\pmod q} \frac{\Lambda(n)}{n^s} = -\frac1{\phi(q)} \sum_{\chi\pmod q} \bar\chi(b) \frac{L'(s,\chi)}{L(s,\chi)}. $$