Ceros de una holomorphic función en la frontera de una región cerrada

Question

Hay un holomorphic distinto de cero de la función en un circuito cerrado delimitado conectado subconjunto de $\mathbb{C}$ que tiene una infinidad de ceros en el límite y en la mayoría de los una un número finito de ceros en el interior (abierto conectado subconjunto del conjunto cerrado)?

Si hay infinitamente muchos ceros en el interior, no estoy seguro de si la función se reduce de forma idéntica a cero mediante el uso de punto límite compacidad y la construcción de una secuencia de puntos con un punto de acumulación, que es, sin duda, en el cierre, pero no puede ser en el interior.

Para mayor claridad: "holomorphic en una cerrada delimitada conectado subconjunto", me refiero a holomorphic en el interior y continua en la frontera desde holomorphicity sólo se define a través de conjuntos. Por ejemplo, considere un valor distinto de cero de la función continua en el cerrado de la unidad de disco y holomorphic en la unidad de disco. Puede tener sólo un número finito de ceros en el disco y una infinidad de ceros en la frontera?

Gracias.

Answer 1

Considere la posibilidad de la unión, sobre todos los racionales $p/q\in [0,1)$, escrito en términos mínimos, de los segmentos de línea de partida en $0$, después de haber ángulo de $2\pi p/q$ con el eje real positivo, y que tienen una longitud de $1/q$. Considere la posibilidad de la unión de este conjunto con el círculo unitario y llamar a este conjunto de $K$. A continuación, $K$ es un compacto, conectado localmente subconjunto de la esfera de Riemann (que consiste en el círculo unidad, el intervalo [0,1] y countably muchos de los "picos" que sobresale de cero. Deje $U$ ser el delimitada complementarios componente de $K$, lo $U$ es simplemente conectado delimitada subconjunto del plano, con conectado localmente límite.

Deje $\phi:\mathbb{D}\to U$ ser un mapa de Riemann, es decir, la conformación isomorfismo entre la unidad de disco y el dominio $U$. Por el teorema de Carathéodory, el mapa de $\phi$ se extiende continuamente a la unidad de círculo. Esta extensión tendrá una cantidad no numerable de ceros (uno para cada "acceso" a cero desde el complemento de $K$), pero, por supuesto, el mapa de $\phi$ sí no tiene ceros.

Para obtener un ejemplo de un holomorphic función que tiene un número infinito de ceros, se extiende continuamente a la frontera, pero tiene sólo un cero allí (el mínimo posible debido a la continuidad) es muy fácil. Por ejemplo, restringir la función \sin(z)/z horizontal a la mitad de una tira que rodea el eje real positivo, y cuyo límite no pasa a través de los ceros de la izquierda. Precomponer con un mapa de Riemann teniendo el disco de esta banda para obtener el mapa deseado. (Esto es similar a J. J. del ejemplo anterior, pero he dividido por z para asegurar una continua extensión).

Edit. Cabe señalar que por la F. Y M. teorema de Riesz, el conjunto de ceros en el límite es cero uno-dimensional de la medida de Lebesgue.