El levantamiento de un isomorfismo de los cocientes a un automorphism de grupos gratis

Question

Supongamos que $F$ es un grupo libre en $2$ generadores y deje $K,H \unlhd F$ ser tal que $F/H$ $F/K$ son isomorfos.

Si $\phi \colon F/H \to F/K$ es un isomorfismo, puede ser elevado a un automorphism $\tilde{\phi} \in \mathop{Aut}(F)$ tal que $\tilde{\phi}(H) = K$?

Answer 1

No necesariamente. Por ejemplo, supongamos $F=\langle a,b \rangle$ y deje $H=K$ ser el normal de cierre en la $F$$\langle a^5,b^5,[a,b] \rangle$, lo $F/H$ es elemental abelian de orden $25$. A continuación, el automorphism de $F/H$ que se asigna a cada elemento con su plaza no se eleva a un automorphism de $F$.