La evaluación de una potencia de la serie

Question

Puede alguno que me ayude a encontrar una forma cerrada de la expresión de esta suma da ningún valor racional de x, y cualquier número entero p, donde {x} denotates la parte fraccionaria de x.$$\sum_ {k=1}^{\infty}\frac{ \left\{p^kx \right\} }{p^k} $$ También parece converger racional de los valores.

Por ejemplo, si dejo $p=5,x=\frac13$, la serie converge a $\frac{11}{72}$

No creo que esto debe ser muy duro, pero no estoy seguro, agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Supongamos que $x\in\mathbb{Q}$, $0\lt x\lt1$, y $x$ tiene la base-$p$ expansión $$ x=\sum_{k=1}^\infty\frac{d_k}{p^k}\etiqueta{1} $$ Entonces $$ \frac{\{p^nx\}}{p^n}=\sum_{k=n+1}^\infty\frac{d_k}{p^k}\etiqueta{2} $$ Así que $$ \begin{align} f_p(x) &=\sum_{n=0}^\infty\frac{\{p^nx\}}{p^n}\\ &=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=n+1}^\infty\frac{d_k}{p^k}\\ &=\sum_{k=1}^\infty\sum_{n=0}^{k-1}\frac{d_k}{p^k}\\ &=\sum_{k=1}^\infty\frac{k\,d_k}{p^k}\tag{3} \end{align} $$ Ya que la suma de $(3)$ se inicia en $k=0$, $f_p(x)-x$ es la función de la pregunta. Sin embargo, si $f_p(x):\mathbb{Q}\mapsto\mathbb{Q}$,$f_p(x)-x:\mathbb{Q}\mapsto\mathbb{Q}$.

Finito de base-$p$ expansión

Obviamente, si la base-$p$ expansión de $x$ es finito, entonces la suma de $(3)$ es finito $$ f_p(x)=\sum_{k=1}^m\frac{k\,d_k}{p^k}\etiqueta{4} $$ que es una suma finita de números racionales, por lo tanto $f_p(x)\in\mathbb{Q}$.

La repetición de base-$p$ expansión

Si la base-$p$ expansión de $x$ repite con período de $m$, luego $$ \begin{align} f_p(x) &=\sum_{k=1}^m\sum_{n=0}^\infty\frac{(k+nm)d_k}{p^{k+nm}}\\[6pt] &=\sum_{k=1}^m\frac{d_k}{p^k}\sum_{n=0}^\infty\frac{k+nm}{p^{nm}}\\[6pt] &=\sum_{k=1}^m\frac{d_k}{p^k}\left(\frac{kp^m}{p^m-1}+\frac{mp^m}{(p^m-1)^2}\right)\\[6pt] &=\frac1{p^m-1}\left(mx+p^m\sum_{k=1}^m\frac{k\,d_k}{p^k}\right)\tag{5} \end{align} $$ que es de nuevo una suma finita de números racionales, por lo tanto $f_p(x)\in\mathbb{Q}$.

Mezcla de la base-$p$ expansiones

Tenga en cuenta que si no hay base-$p$ lleva al agregar $x$$y$, entonces cada dígito de la suma es la suma de los dígitos, y por lo tanto, por $(1)$$(3)$, $$ f_p(x+y)=f_p(x)+f_p(y)\etiqueta{6} $$ Además, $$ \begin{align} f_p\left(\frac{x}{p^n}\right) &=\sum_{k=1}^\infty\frac{(k+n)d_k}{p^{k+n}}\\ &=\frac1{p^n}\left(nx+f_p(x)\right)\tag{7} \end{align} $$ La combinación de $(4)$, $(5)$, $(6)$, y $(7)$, obtenemos

Conclusión

Si $x\in\mathbb{Q}$, luego $$ \sum_{k=1}^\infty\frac{\{p^kx\}}{p^k}=f_p(x)-x\in\mathbb{Q} $$

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Ejemplo 1

En base $5$, $\frac{14}{25}=.\color{#C00000}{24}$. Por $(4)$ $$ \begin{align} f_5\left(\frac{14}{25}\right) &=\frac{\color{#00A000}{1}\cdot\color{#C00000}{2}}{5^{\color{#00A000}{1}}}+\frac{\color{#00A000}{2}\cdot\color{#C00000}{4}}{5^{\color{#00A000}{2}}}\\[6pt] &=\frac{18}{25} \end{align} $$

Ejemplo 2

En base $5$, $\color{#0000FF}{\frac13}=.\overline{\color{#C00000}{13}}$, por lo tanto, $p=5,m=2,d_1=1,d_2=3$. Por $(5)$ $$ \begin{align} f_5\left(\color{#0000FF}{\frac13}\right) &=\frac1{5^2-1}\left(2\cdot\color{#0000FF}{\frac13}+5^2\left(\frac{\color{#00A000}{1}\cdot\color{#C00000}{1}}{5^\color{#00A000}{1}}+\frac{\color{#00A000}{2}\cdot\color{#C00000}{3}}{5^\color{#00A000}{2}}\right)\right)\\[6pt] &=\frac{35}{72} \end{align} $$

Ejemplo 3

En base $5$, $\frac{67}{75}=.24\overline{13}$. El uso de $(6)$ $(7)$ y los ejemplos anteriores, obtenemos $$ \begin{align} f_5\left(\frac{67}{75}\right) &=f_5\left(\frac{14}{25}\right)+f_5\left(\frac13\cdot\frac1{25}\right)\\[6pt] &=\frac{18}{25}+\frac1{5^2}\left(2\cdot\frac13+\frac{35}{72}\right)\\[6pt] &=\frac{1379}{1800} \end{align} $$

Answer 2

Para muchos pares de $(a,b)$, usted puede tomar las combinaciones lineales de $g(1/a),\dots,g(a/a)$ para obtener la suma en cuestión. Por ejemplo, con $a=6$, \begin{align*} -g(\tfrac x6) + g(\tfrac{3x}6) + g(\tfrac{4x}6) &= 6 \sum_{k=0}^\infty f(6k+1) \\ g(\tfrac{2x}6) - g(\tfrac{3x}6) - g(\tfrac{4x}6) + g(\tfrac{5x}6) &= 6 \sum_{k=0}^\infty f(6k+2) \\ g(\tfrac{x}6) - g(\tfrac{2x}6) - g(\tfrac{4x}6) + g(\tfrac{5x}6) &= 6 \sum_{k=0}^\infty f(6k+3) \\ g(\tfrac{x}6) - g(\tfrac{2x}6) - g(\tfrac{3x}6) + g(\tfrac{4x}6) &= 6 \sum_{k=0}^\infty f(6k+4) \\ g(\tfrac{2x}6) + g(\tfrac{3x}6) - g(\tfrac{5x}6) &= 6 \sum_{k=0}^\infty f(6k+5). \end{align*} Encontrar la exacta combinación lineal es un simple problema de álgebra lineal para cualquier $a$: desde el todo a la vista es el período con un periodo $a$, sólo es necesario para obtener el derecho de los coeficientes de $f(1),\dots,f(a)$.

Answer 3

Deje $x=r/s$, $p^k$ es finalmente periódico modulo $s$, lo $\{{p^kx\}}$ es el tiempo de periódico, por lo que la serie finalmente se geométrica con razón común algunos de potencia inversa de a $p$, por lo que la suma es racional.

Answer 4

deje $x = a/b$ $b>0$ $a$ coprime con $b$.

La parte fraccionaria de $p^ka/b$ sólo depende del valor de $p^ka \pmod b$, y la secuencia de $(p^ka \pmod b)_{k \ge 0}$ es el tiempo de periódico : Desde allí se $b$ clases modulo $b$, cuando se mira a $p^1a, p^2a, \ldots p^{b+1}a \pmod b$, se encuentran dos de los exponentes $k_0,k_1$ tal que $p^{k_0}a = p^{k_1}a \pmod b$. Y puesto que el resto de $px \pmod b$ sólo depende de $x \pmod b$, a partir de ese punto, $p^{k_1+k}a = p^{k_0+k}a \pmod b$, por lo que la secuencia es $T$-periódico con $T = k_1-k_0$.

Por lo tanto, si usted escribe $p^k a = a_k \pmod b$ donde $0 \le a_k < b$, la secuencia de $(a_k)$ es eventualmente $T$-periódico y $\{p^k x\} = a_k/b$, lo $\sum_{k \ge 1} \{p^k x\}p^{-k} = \sum_{k \ge 0} a_k p^{-k} b^{-1}$.

Ahora, $( \sum_{k \ge 1} a_k p^{-k}b^{-1})(p^T - 1) = \sum_{k \ge 1} (a_{k-T} - a_k)p^{-k}b^{-1}$, donde colocamos $a_k = 0$ $k \le 0$ cuando sea necesario. Desde $(a_k)$ es eventualmente $T$-periódico, $(a_{k-T} - a_k)$ sólo tiene un número finito distinto de cero términos (de hecho es igual a cero, al menos, al $k \ge k_1$), con lo $( \sum_{k \ge 1} a_k p^{-k}b^{-1})(1 - p^{-T}) = \sum_{1 \le k < k_1} (a_k - a_{k-T})p^{-k}b^{-1}$

Poner todo de nuevo juntos, llegamos $\sum_{k \ge 1} \{p^k x\}p^{-k} = (\sum_{1 \le k < k_1} (a_k - a_{k-T})p^{-k})/((1 - p^{-T})b)$, que es racional.

Por ejemplo, con $p=5,a=1,b=3$ tenemos $p^1 a = p^3 a = 2 \pmod 3$, por lo que podemos elegir el $k_1 = 3$$T = 2$. Tenemos $a_1 = 2, a_2 = 1$, por lo que la fórmula da $(2.5^{-1}+1.5^{-2})/((1-5^{-2})3) = (2.5+1.1)/(24.3) = 11/72$.