Definición de la preimagen de orientación

Question

Guillemin y Pollack dar bastante confuso (al menos para mí) la definición de la preimagen de orientación (véase a continuación).

No entiendo la parte a partir de la última pantalla. A saber:

• ¿Cómo funciona exactamente la última pantalla siga?
• ¿Por qué $T_xS$ contienen $\ker df_x$ y en qué se sigue de esto que el $df_x$ restringido a $N_x(S;X)$ es inyectiva (creo que es lo que se reivindica)?
• Punto en el que no demuestra esto utilice el hecho de que todos los vectores de $N_x(S; X)$ es ortogonal a todos los vectores de $T_x S$?

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Answer 1

No es importante que $N_x(S;X)$ es ortogonal a $T_xS$. Es sólo importante que son en suma directa. Pero usted puede encontrar que es útil para el bien de visualización/de concreción.

La razón por la que el núcleo de $df_x$ contiene $S$ es sólo que el kernel está generado por los vectores de tangentes de curvas asignan de forma idéntica a $z$.

Dado que el núcleo de $df_x$ está contenido en $T_xS$ $T_xS$ es en suma directa de con $N_x$, la restricción de $df_x$ $N_x$es inyectiva.

La última pantalla consta de dos afirmaciones. Una es que cada elemento de a $T_zY$ es la suma de un elemento de $df_xN_x$ y un elemento de $T_zZ$. La segunda es que la intersección de a $T_zZ$ $df_xN_x$ es sólo el vector cero. De estas dos afirmaciones se derivan de la ecuación anterior, el hecho de que $T_xS$ está asignado a $T_zZ$$df_x$, y el hecho de que $T_xS$ es en suma directa de con $N_x$.