Los primos en la teoría de los anillos

Question

Tengo esta definición de primos en mis apuntes de clase y no la entiendo me preguntaba si alguien podría explicármela

$p$ es primo si y sólo si para todo $a$ , $b$ que son elementos de $R$ tenemos $p \mid ab$ implica $p \mid a$ o $p \mid b$ .

Mira que estoy bastante perdido con esta definición.

Answer 1

¿Has probado a ver por qué los números compuestos no se ajustan a esa definición?

Por ejemplo, tome $p = 14$ , $a = 2$ , $b = 49$ . Entonces $ab = 98$ es divisible por $p$ . Sin embargo, $2$ es claramente no divisible por $14$ , ni es $49$ divisible por $14$ tampoco. No es de extrañar, dado que $14$ es compuesto, no primo.

Ahora considere $p = -7$ , $a = 2$ , $b = 49$ . Entonces $ab = 98$ es divisible por $p$ Como antes. Aunque $2$ no es divisible por $-7$ , $49$ es. Podemos elegir otros $a$ y $b$ tal que $ab = 98$ pero está garantizado que en cada caso encontraremos que $-7$ es un divisor de $a$ o $b$ si no las dos cosas. En efecto, $-7$ es un número primo.

Trabajar en $\mathbb{Z}$ esto puede no parecer un gran problema. Si observamos casi cualquier otro anillo numérico, esto se convierte en una distinción muy importante.

Answer 2

Cuando $R$ es un UFD (dominio de factorización único, por ejemplo $R = \mathbf Z$ ) entonces los dos conceptos siguientes son equivalentes para un elemento $p \in R$ y $p$ no es cero y $p$ no es una unidad:

• $p$ es irreducible, lo que significa que siempre que $p$ se escribe como producto de otros dos elementos de $R$ es decir $p = ab$ Entonces, o bien $p \mid a$ o $p \mid b$ . Necesariamente, si $p$ divide $a$ o $b$ el otro tiene que ser una unidad en $R$ . Por ejemplo, si $p \mid a$ y escribimos $a = pc$ para algunos $c \in R$ entonces $p = ab = pcb$ así que $1 = cb$ y por lo tanto $b$ tiene una inversa, a saber $c$ .

• $p$ es primo, lo que significa que siempre que $p$ divide un producto de otros dos elementos, es decir $p \mid ab$ entonces $p \mid a$ o $p \mid b$ .

La definición clásica de un número primo es un irreducible elemento de $\mathbf Z$ y los números primos son, efectivamente, elementos primos según la definición anterior.

Históricamente, al intentar demostrar el último teorema de Fermat ( $x^n + y^n = z^n$ no tiene soluciones para $n \ge 3$ excepto cuando uno de $x, y$ o $z$ es cero) los matemáticos (como Dedekind y Kummer) notaron que cuando $p$ es primo, podemos factorizar $x^p + y^p$ como

$$ (x + y)(x + \zeta y)\cdots(x + \zeta^{p-1} y) \tag{1}$$

donde $\zeta$ es un director $p$ -raíz de la unidad. (Ya se sabía que si el último teorema de Fermat podía demostrarse para los exponentes primos, se cumple para todos los exponentes).

Lo que se observó es que si $x^p + y^p = z^p$ entonces $(1)$ y $z^p$ son dos factorizaciones diferentes de $z^p$ . La cuestión es, $\mathbf Z[\zeta]$ no siempre es un UFD.

Esto hizo que se estudiaran más seriamente los anillos que no son UFDs pero que aún así provienen de raíces contiguas de polinomios, como por ejemplo $\zeta$ a los enteros.

Por ejemplo, en $\mathbf Z[\sqrt{-5}]$ tenemos una factorización no única:

$$ 21 = 3 \cdot 7 = (1 + 2\sqrt{-5}) \cdot (1 - 2\sqrt{-5}).$$

La idea para resolver esto es que de alguna manera existiera una clase mayor de "números ideales" en los que se obtuviera una factorización única. Es decir, habría "primos ideales" $\mathfrak{p}_1, \mathfrak{p}_2, \mathfrak{p}_3, \mathfrak{p}_4$ tal que

$$ 3 = \mathfrak{p}_1\mathfrak{p}_2, 7 = \mathfrak{p}_3\mathfrak{p}_4 $$

et

$$ (1 + 2\sqrt{-5}) = \mathfrak{p}_1\mathfrak{p}_3, (1 - 2\sqrt{-5}) = \mathfrak{p}_2\mathfrak{p}_4 $$

estos "primos ideales" nos dan una factorización única de $21$ en "números ideales".

Pues bien, cuando se examina qué propiedades se desean de un "número ideal" se encuentra que básicamente deben definirse en términos de divisibilidad. Aquí, $\mathfrak{p_1}$ y $\mathfrak{p_2}$ "dividir" $3$ .

Siguiendo con esta idea, te das cuenta de que un "elemento ideal" $\mathfrak{a}$ no es más que el conjunto de cosas que divide:

$$ \mathfrak{a} ``=" \{a \in R : \mathfrak a \mid a\}. $$

De ahí viene la definición de un ideal dentro de un anillo.

Por supuesto, en un anillo que no es un $UFD$ hablar de "factorización de números" no está bien definido. Así que lo que hicieron los matemáticos fue pasar de la noción de elementos irreducibles a la noción de elementos primos, que puede expresarse naturalmente en términos de ideales. En concreto, un ideal $\mathfrak{p}$ es primo si siempre que $ab \in \mathfrak p$ (en términos de "primos ideales" esto dice que $\mathfrak p \mid ab$ ) entonces $a \in \mathfrak p$ o $b \in \mathfrak p$ .

En un UFD, todas estas nociones son iguales:

$p$ es irreducible si y sólo si $p$ es primo si y sólo si el ideal $(p)$ es un ideal primo.

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Esta explicación de los "elementos ideales" se basa en el capítulo 1.3 de la obra de Neukirch Teoría algebraica de los números .