Si tenemos $\gcd(a_n,a_m)=a_{\gcd(n,m)}$ para cada par, a continuación, $a_1,a_2,...$ es la secuencia de Fibonacci?

Question

Es bien sabido que para cada par $f_n,f_m$ en la secuencia de Fibonacci tenemos $$\gcd(f_n,f_m)=f_{\gcd(n,m)}$$

¿Qué acerca de la otra manera? Si tenemos $\gcd(a_n,a_m)=a_{\gcd(n,m)}$ para cada par de no constante secuencia $a_1,a_2,...$ natural nubers, entonces es la secuencia de Fibonacci?

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Para empezar estaba pensando sólo en una secuencia de la forma $a_{n+1} = \alpha a_n+ \beta a_{n-1}$ y todo lo que puedo encontrar es que el $a_1=a_2$ y $a_1\mid a_n$ por cada $n$. También se $a_2\mid a_3$.

Answer 1

Una secuencia $(x_n)$ satisfacción $\gcd(x_n,x_m)=x_{\gcd(n,m)}$ se llama un fuerte divisibilidad de la secuencia.

Un ejemplo sencillo de un fuerte divisibilidad de la secuencia que no es la secuencia de Fibonacci es $x_n = a^n-1$ donde $a \in \mathbb N$.