¿Qué algoritmos o referencias puedo buscar para encontrar una transformación $T$ que minimize la norma de una matriz dada $A$ sin propiedades particulares?
$$\min_T \| T A T^{-1} \|$$
La norma que quiero minimizar es la norma $2$, pero la norma de Frobenius también sirve porque limita (estrechamente) la norma $2$. Por lo tanto, debería producir $T$ similares. La matriz $A$ es real en algunas aplicaciones e imaginaria en otras. Cualquier solución sería útil.
El conjunto de todas las matrices invertibles no es compacto. No se garantiza que exista un mínimo, pero puedes mirar en cambio el ínfimo. Mostraremos que $\inf_T\|TAT^{-1}\|_2=\rho(A)$ y $\inf_T\|TAT^{-1}\|_F=\sqrt{\sum_i|\lambda_i(A)|^2}$.
Es claro que $\|TAT^{-1}\|_2\ge\rho(TAT^{-1})=\rho(A)$. Además, dado que la norma de Frobenius es invariante unitariamente y cada matriz compleja es unitariamente triangularizable, $\|TAT^{-1}\|_F$ siempre está acotada por debajo por $\sqrt{\sum_i|\lambda_i(A)|^2}$.
Ahora, supongamos que $T_1AT_1^{-1}$ es la forma normal de Jordan de $A$. Sea $T_2=\operatorname{diag}(1,k,k^2,\ldots,k^{n-1})$ donde $k>0$. Cuando $k\to+\infty$, $T_2(T_1AT_1^{-1})T_2^{-1}\to\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$. Por lo tanto, su norma inducida $2$ se acerca a $\rho(A)$ y su norma de Frobenius se acerca a $\sqrt{\sum_i|\lambda_i(A)|^2}$. Por lo tanto, los dos límites inferiores son infimos.
¡Wow, gracias! Entonces la solución es tan simple como tomar T como la transformación a la forma canónica de Jordan. ¿Podrías explicar el argumento con $T_2$ aunque?
@AlexPacheco (1) No, esa $T$ no es una solución. De hecho, como dije al principio, $GL_n(\mathbb C)$ no es compacto. No hay ninguna solución en general. (2) Cuando $J=T_1AT_1^{-1}$ es una forma de Jordan, simplemente calcula $T_2JT_2^{-1}$ directamente.
Detallaré esto matemáticamente en mi trabajo, pero para fines de ingeniería: ¿Si el objetivo es minimizar la norma 2/F-norma, entonces calcular la transformación jacobiana es lo más cercano que podemos obtener a una solución asumiendo que existe una solución? Al menos así es como interpreto lo que estás diciendo..
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¿Qué norma quieres minimizar? Hay varias normas en el espacio de matrices - norma del operador, normas vectoriales l^p, etc. Además, ¿estás considerando el caso real o complejo?
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La norma que quiero minimizar es la norma-2, pero la norma de Frobenius también funciona porque limita (estrechamente) la norma-2. La matriz A es real en algunas aplicaciones e imaginaria en otras. Cualquiera de las soluciones ayudaría.