Demostrar que $f(x)$ no tiene raíces entero

Question

Supongamos $f(x) \in \mathbb{Z}[x]$ es tal que $f(0)$ $f(1)$ son impares. ¿Cómo puedo demostrar que $f(x)$ no tiene ningún entero raíces?

Answer 1

Otra prueba puede ser hecho usando el hecho de que si $f$ ha entero y los coeficientes de $a\neq b$ son enteros, entonces $a-b | f(a)-f(b)$. Debido a $f(0)$ $f(1)$ son impares, se deduce que el $f(k)$ es impar para cada entero $k$, y por lo tanto no entero puede ser una raíz.

Answer 2

Si $r$ es un número entero de la raíz y $f(x)=\sum_{k=0}^na_kx^k$, $a_k\in\mathbb Z$ a continuación,$\sum_{k=0}^na_kr^k=0$.

• Si $r$ es incluso, a continuación, reducir el modulo $2$ tenemos que $a_0\equiv 0[2]$ por lo tanto $f(0)$ es aún, que no puede ser el caso por hipótesis.

• Si $r$ es impar, entonces $r^k\equiv 1[2]$ por cada $k \geqslant 0$ por lo tanto $\sum_{k=0}^na_k\equiv 0[2]$. Por lo tanto $f(1)=\sum_{k=0}^na_k$ es aún, y llegamos a una contradicción.

Answer 3

El uso de las propiedades básicas de congruencias puede mostrar fácilmente que para cualquier polinomio $f(x)$ con coeficientes enteros $$x \equiv y \pmod n \qquad \Rightarrow \qquad f(x) \equiv f(y) \pmod n.$$ Ver la prueba en proofwiki.

En este caso, para $n=2$ consigue:

• si $x$ es impar, es decir,$x \equiv 1 \pmod 2$,$f(x)\equiv f(1)\equiv 1\pmod 2$;
• si $x$ es impar, es decir,$x \equiv 0 \pmod 2$,$f(x)\equiv f(0)\equiv 1\pmod 2$.

En ambos casos, $f(x)$ es entero impar, por lo que no es cero.

Tenga en cuenta que esto es básicamente la misma respuesta dada por Beni Bogosel, pero yo pensaba que si usted está familiarizado con congruencias, este enfoque podría ser más claro para usted.

Answer 4

Yo no estoy muy original aquí, pero la reducción de la $x$ modulo 2 en la expresión $f(x)$ da $f(x)\equiv f(x\bmod 2)\pmod 2$. Puede ser interesante es observar que el resultado es false para polinomios con coeficientes racionales que toman valores enteros en $\mathbf Z$, por ejemplo,$\frac{x^2-x-2}2$.