En primer lugar, unos preliminares con respecto a la definición rigurosa de un espacio afín. Si usted no está interesado en esto, entonces usted puede ir directamente a la parte inferior donde me dirijo a sus preguntas específicas.
Dado un conjunto $S$ y un grupo de $\big(G,\circ\big)$, podemos definir un grupo de la izquierda de la acción
$$\triangleright: G \times S \rightarrow S$$
$$(g,s) \mapsto g\triangleright s$$
tal que
- El elemento de identidad $e\in G$ mapas de cada elemento de $s$ a sí mismo, y
- Para todos los $g,h\in G$$s\in S$, $g\triangleright (h \triangleright s) = (g\circ h)\triangleright s$
El estabilizador de un punto de $s\in S$ es el conjunto de elementos de $G$ mapa de $s$ a sí mismo:
$$\Sigma(s) := \big\{g \in G \ \big| \ g\triangleright s = s\big\}$$
- A la izquierda es lo que se llama libre si $\forall s\in S$: $\Sigma(s)=\{e\}$. En otras palabras, el único elemento de $G$ que los mapas de cualquier $s\in S$ a en sí es el elemento de identidad de $G$. Tal acción tiene la propiedad de que si $g\triangleright s = h\triangleright s$, entonces inmediatamente se nos garantiza que $g=h$.
- A la izquierda es lo que se llama transitiva si, para todos los $s,t\in S$, existe alguna $g\in G$ tal que $g \triangleright s = t$. Que es, siempre se puede llegar a cualquier elemento de $S$ desde cualquier otro por la acción de algún elemento de $G$.
Habiendo hecho estas definiciones, podemos definir un espacio afín a ser una triple $\big(A,V,\triangleright\big)$ donde $A$ es un conjunto, $V$ es un espacio vectorial, y $\triangleright$ es gratis, transitiva de acción izquierda de $V$$A$, donde se nos tenga en cuenta que cualquier espacio vectorial $V$ es, en particular, un grupo abelian con adición de vectores como el grupo de operación. Uno normalmente llamadas elementos de $A$ de los puntos y elementos de $V$ desplazamiento de vectores.
Ejemplo: supongamos $A=\mathbb R^2$ como un conjunto, y deje $V = \mathbb R^2$ como un espacio vectorial. Dado cualquier punto de $p\equiv (a,b)\in A$ y cualquier vector de desplazamiento $\vec v \equiv \langle x,y\rangle\in V$, definir la acción izquierda
$$\vec v \triangleright p = \langle x,y\rangle \triangleright (a,b) := (a+x,b+y)$$
Como era de esperar, cualquier espacio vectorial es un espacio afín sobre la misma, en analogía con este ejemplo.
Da la opción de punto de origen $O\in A$, cualquier punto de $x\in A$ puede ser identificada con un vector de desplazamiento $\vec v$ tal que $\vec v \triangleright O = x$. Tenga en cuenta que la existencia de un vector de desplazamiento está garantizada debido a la izquierda de la acción es transitivo, mientras que su unicidad está garantizada debido a la izquierda de la acción es libre.
En un ligero abuso de notación, algunas personas volver a utilizar la misma symbole dos veces, y deje $\vec x$ ser el único vector que $\vec x \triangleright O = x$ (donde el $x$ en el lado derecho vidas en $A$). Finalidades pedagógicas, es probablemente mejor para denotar un objeto por $\vec v_x$ o algo así, pero es lo que es.
Para un poco menos trivial ejemplo de un espacio afín, considere el siguiente conjunto:
$$ A := \big\{ (a,b,c)\in \mathbb R^3 \ \big| \ z = 5\big\}$$
$A$ no es un subespacio vectorial de $\mathbb R^3$ porque no incluye el origen. Sin embargo, si equipamos con el espacio vectorial $V = \mathbb R^2$, y la izquierda de la acción
$$\langle x,y\rangle \triangleright (a,b,c) := (a+x,b+y,c)$$
entonces, efectivamente, convertirse en un espacio afín.
Ahora, a sus preguntas.
En concreto, si he de elegir otros dos puntos p' y o' que están a la misma distancia a la que me gustaría conseguir el mismo elemento del espacio afín, por lo que a mí me parece que los vectores de posición se define de esta manera no son realmente "situado" en cualquier lugar. Es esto correcto? ¿Hay alguna manera de "arreglar" este o una prolija manera matemática a mirar?
Sí, eso es correcto. No hay nada que arreglar, en el sentido de que esta es una función afín de espacios en lugar de un error.
El problema con la fijación de los vectores de los puntos es que cada punto tiene su propia copia de los vectores en el espacio, y no es inmediatamente obvio para comparar o combinar vectores que están conectados a diferentes puntos.
Puesto de una manera diferente, un espacio afín viene equipado con un único y universal de espacio vectorial, en lugar de un montón de individuo espacios vectoriales que tendría que conectar con un poco de extra estructura (por ejemplo, una conexión afín).
[...] el hecho de que un colector puede tener curvatura que realmente me hace incómodo y no veo la manera de la "recta" de la naturaleza de los vectores de posición, puede ser reconciliado con esto.
Tiene usted derecho a ser incómodo. De hecho, los espacios que poseen curvatura intrínseca está descalificado para ser afín espacios, porque, por ejemplo, el transporte de un vector alrededor de un bucle cerrado de forma genérica los resultados en un vector diferente de la que usted comenzó con - esto está en marcado contraste con el bastante obvio
$$\vec x + \vec a + \vec b + (-\vec a) + (-\vec b) = \vec x$$
que tendríamos si estuviéramos trabajando en un espacio afín.
Yo creo, es que uno sólo puede hablar de la posición de los vectores en el plano de los colectores, y de alguna manera la posición de "deja de ser un vector" si el espacio tiene una curvatura[...]
Sí, eso es correcto.
[...]pero, ¿qué acerca de la "derivado de los vectores de posición" como marco campos, entonces?
Espacio plano no es lo mismo que "coordenadas Cartesianas." Obviamente el plano Euclidiano $\mathbb E^2$ plano en el sentido de que no tiene curvatura intrínseca, pero todavía se puede describir usando coordenadas polares, que tienen una base natural que varía con el $\mathbb E^2$.
EDIT: me di cuenta de que mientras yo trataba de responder a las preguntas en el cuerpo de tu post, que en realidad no abordar la cuestión en el título.
Dado un espacio afín $\big(A,V,\triangleright\big)$, un afín marco es una opción de punto de origen $O\in A$, y una base $\{\vec v_i\}$$V$. Dada tal marco, el vector de posición campo es un vector de valores de la función
$$\vec R:A \rightarrow V$$
$$a \mapsto \vec R(a)$$
donde $\vec R(a)$ es el único vector que $\vec R(a) \triangleright O = a$. Es un campo en el sentido de que es una función definida en todos los puntos en el conjunto subyacente $A$.
Dada una curva $\gamma : \mathbb R \rightarrow A$ (que uno podría sugestiva la llamada de una trayectoria), podemos definir el vector de posición a lo largo de la curva de
$$\vec R_\gamma : \mathbb R \rightarrow V$$
$$ t \mapsto \vec R \big(\gamma(t)\big)$$
Este objeto es fundamentalmente de qué estamos hablando cuando nos referimos a la dependiente del tiempo del vector de posición de una partícula.
