Consejos generales sobre el uso de la distribución binomial en condicional probabilty problemas

Question

Esto es de un curso en línea de libros de texto (Harvard Estadísticas 110: ver #45, p. 28 de pdf). No es una tarea de la pregunta, la respuesta es proporcionada en el texto. Realmente quiero entender por qué la solución es de esa manera.

Un nuevo tratamiento para una enfermedad que está siendo probado, a ver si es mejor que el tratamiento estándar. El tratamiento es eficaz en $50\%$ de los pacientes. Se cree que inicialmente hay un $2/3$ de probabilidad de que el nuevo tratamiento es eficaz en $60\%$ de los pacientes, y un $1/3$ de probabilidad de que el nuevo tratamiento es eficaz en $50\%$ de los pacientes. En un estudio piloto, el nuevo tratamiento que se aplica a $20$ al azar a los pacientes, y es eficaz para $15$ de ellos.

(a) teniendo en cuenta esta información, ¿cuál es la probabilidad de que el nuevo tratamiento es mejor que el tratamiento estándar?

(b) Un segundo estudio, que se realiza posteriormente, dar un nuevo tratamiento a $20$ nuevo aleatoria de los pacientes. Dado que los resultados del primer estudio, ¿cuál es el PMF de cómo muchos de los nuevos pacientes el nuevo tratamiento es eficaz? (Dejando $p$ ser la respuesta a (a), su respuesta puede ser a la izquierda en términos de $p$.)

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La respuesta a (b):
Deje $Y$ a cuántos de los nuevos pacientes el nuevo tratamiento es eficaz para e $p=P(B|X=15)$ ser la respuesta de (una). A continuación, para $k\in \{0,1,\ldots,20\}$,
\begin{align} P(Y=k|X=15) &= P(Y=k|X=15,B)P(B|X=15) \\ &\quad + P(Y=k|X=15,B^c)P(B^c|X=15) \\[5pt] &= P(Y=k|B)P(B|X=15) + P(Y=k|B^c)P(B^c|X=15) \\[5pt] &= {20\choose k} (0.6)^k(0.4)^{20-k}p + {20\choose k}(0.5)^{20}(1-p). \end{align}

Preguntas:

1. Antes de que yo veía en la respuesta, no creo que la respuesta a (a) hallarse por medio de una distribución binomial. Pero después de leer la respuesta que yo estaba convencido por ella. Así, hay una especie de "general " sugerencia" cuando el uso de una distribución binomial?

2. No entiendo por qué la respuesta a (b) es de esa manera. Específicamente, ¿por qué $$P(Y=k|X=15, B)=P(Y=k|B)$$ and the analogous one conditioning on $B^c$?
   Esta igualdad es implícita a partir de la segunda igualdad de (b)'s respuesta. $$P(Y=k|\underbrace{X=15, B}_{\text{intersection removed}})P(B|X=15)+P(Y=k|\underbrace{X=15, B^c}_{\text{the same here}})P(B^c|X=15)$$ $$=P(Y=k|B)\ \ \ \ \ \ P(B|X=15)\ \ \ \ \ + \ \ \ \ \ \ \ \ P(Y=k|B^c) \ \ \ \ \ P(B^c|X=15)$$

Answer 1

• De dónde viene tu expresión, P(Y=k|X=15,B) = P(Y=k|B), en la segunda pregunta se producen?

• Lógicamente es correcto usar algo como: $$P(a|b)=P(a|b,c)P(c)+P(a|b!c)P(!c)$$

• Efectivamente usted tiene una mezcla de distribución de dos distribuciones binomiales

  $$ p \underbrace{ {{20} \choose {k}} 0.6^k0.4^{20-k}}_{\text{Binom$(20,0.6)$}} + (1-p) \underbrace{ {{20} \choose {k}} 0.5^k0.5^{20-k}}_{\text{Binom$(20,0.5)$}} $$

  es el equivalente a una probabilidad de $p$ que el medicamento funciona en el 60% de las personas y una probabilidad de $1-p$ que el medicamento funciona en el 50% de la gente.

• Esta lógica puede no parecer tan correcto. Cómo podría, basado en la pregunta 'a', cree que tiene la medicina de trabajo en sólo un 50% o 60%? Que es una falsa dicotomía.

  Sin embargo, tenga en cuenta que este es creado debido a la extraña antes de creer que está trabajando en un 50% o 60% (2/3 de probabilidades vs 1/3) y nada más (por lo que la distribución posterior se adhieren a esta extraña creo y solo cambiar estas proporciones 2/3 y 1/3 en $p$$1-p$).

  No es un realista pregunta, ¿qué sería de obtener en la práctica. Pero ilustra una forma más complicada principio (ver siguiente punto).

• Con el tiempo (una alternativa mejor a la pregunta enunciado del problema que puede ocurrir más adelante en el curso), se podría utilizar un beta-binomial distribución en la que cada probabilidad se le asigna un valor (no sólo 2/3 de 60% y 1/3 de 50%, o $p$ 60% y $1-p$ a 50%). A continuación, la distribución posterior para $f$, la fracción de personas en el que funciona la medicina (que puede ser modelada como una distribución beta), es un espectro, en lugar de sólo dos valores. Este espectro de probabilidades para diferentes $f$ se usa para escribir el beta-distribución binomial.

• tenga en cuenta que la carta de $p$ es a menudo un parámetro de la distribución binomial, la probabilidad de que el medicamento funciona. Aquí se utiliza de manera diferente por las probabilidades de $p$ $1-p$ que el medicamento funciona con 60% o 50%. Esto puede ser confuso.

Answer 2

En esta respuesta, me limitaré a la pregunta general de cuándo utilizar el binomio.

El binomio surge de manera natural como el número de éxitos en una secuencia de independiente ensayos de Bernoulli con el éxito constante de probabilidad $p$.

Es útil para mantener las condiciones en la mente (tanto para ensayos de Bernoulli y la independiente y constante $p$ de la secuencia de ellos) y ver si que podría ser más o menos plausible. [A menudo el modelo es una aproximación razonable cuando las condiciones no muy presionado.]

Por ejemplo, si usted tiene una población con alguna fracción tener algunos atributos y muestreo al azar con reposición, el recuento del número de tener el atributo de la muestra, sería un candidato obvio para el uso de un binomio. Si en lugar de la muestra sin reemplazo, pero la población es muy grande en comparación a la muestra (haciendo el efecto en $p$ en el juicio $i$ y la dependencia insignificante), entonces usted podría utilizar el binomio como una aproximación.