Supongamos que empezamos con algunos de los mejores $p$. A continuación, tomamos un cuadrado de $p$ y suma el cuadrado con un número del conjunto $\{1,2,...p\}$ obtener algunos otros primos. Luego nos cube $p$ y la suma del cubo con algún número de la set $\{1,2,...p^2\}$ para obtener algunos de los mejores de nuevo. En $n$-ésimo paso nos tomamos $p$ a la potencia de $n$ y suma $p^n$ con algún número de la set $\{1,2,..p^{n-1}\}$ para obtener algunos de los mejores. Hacemos que hasta es posible hacer eso.
Un ejemplo: $p=7$. El cuadrado da $7^2=49$ ahora debemos suma $49$ con algún número de la set $\{1,2,...7\}$ para obtener un primo. Podemos optar $4$ porque $49+4=53$, una de las principales. Luego nos cube $7$ obtener $7^3=343$ y ahora tenemos que elegir un número del conjunto $\{1,2,...49\}$ y podemos elegir el $4$ obtener $343+4=347$. Y así sucesivamente...
Hay un primer $p$ tal de que este procedimiento no funciona después de un número finito de pasos?
Una pregunta, formulada de manera diferente:
Hay para todos los prime $p$ un prime en el conjunto $\{p^n+1,...p^n+p^{n-1}\}$ por cada $n \in \mathbb N \setminus \{2\}$?
