Podemos particionar el plano como este?

Question

Puede un avión de ser escrita como de la unión de $\bigcup_{n=1}^{+ \infty}I_n$ de los conjuntos de $I_n$ de manera tal que todos los $I_n$ es convexo y un área de $I_n$ $\frac{1}{n}$ $I_n \bigcap I_m$ es una curva o un conjunto vacío si $m \neq n$?

Hace unos minutos me remebered de la serie armónica y comenzó a pensar, porque la suma de es $+ \infty$ puede de alguna manera escribir un avión como la unión de un número infinito de conjuntos de $I_n$, de tal manera que el área de $I_n$$\frac {1}{n}$. Hay particiones del avión cuando se establece la necesidad de no ser convexa, pero lo que si se requiere que todos son convexas, como una pregunta es, ¿podemos hacer eso?

Editar(bono de la pregunta):

Lo que si se requiere que todos los conjuntos convexos tienen curvas diferenciables como los límites?

Answer 1

Sí se puede, incluso para los rectángulos con lados verticales y horizontales. En $k$-ésimo paso de la unión de $I_1,\dots,I_{n_k}$ es un rectángulo $[a_k,b_k]\times [c_k,d_k]$ donde $a_k<-k<k<b_k,c_k<-k<k<d_k$. Para hacer el siguiente paso es agregar varios rectángulos de la parte de arriba, luego a la izquierda, luego a la parte inferior, a continuación, a la derecha de modo que los nuevos límites exceder $k+1$ en valor absoluto. Esto es posible ya que la serie armónica diverge.

Answer 2

Una secuencia de rectángulos $R_i$ del tamaño de la $1\times a_i$ $i=1,2,3\ldots$ $a_i\ge 1$ puede ser llenado con rectángulos $1\times \frac{1}{n}$ generado por la serie armónica. A continuación, los rectángulos $R_i$ puede ser utilizado para embaldosar el plano por el apilamiento de ellos para formar una secuencia de franjas paralelas, cada una de anchura $1$. Para evitar que dos piezas se intersectan en un único punto, cambio de cada otra tira por $\sqrt2$ en la dirección de las tiras.

Answer 3

Es difícil sin problemas de ajuste en conjunto cerrado conjuntos convexos con diferenciable límites. Parece que podría ser posible utilizar sólo los discos que a veces se cruzan en un punto (si es que está permitido) o, incluso, son todos distintos. Para la versión más fácil dejar que el $n$th de disco center cerca del origen como sea posible romper los lazos yendo hacia la izquierda.

En el segundo pensamiento, esto podría ser similar a la de una Apolíneo y la Junta de tener (o ser contenida en un conjunto de) dimensión fractal.

Answer 4

Dividen el plano en tiras de anchura $1$. Partición de cada una de las tiras en rectángulos con anchura $1$ y longitudes (no en orden):

Tira 1: $\frac11,\frac13,\frac15,\frac17,\cdots$

Franja 2: $\frac12,\frac16,\frac1{10},\frac1{14},\cdots$

Franja 3: $\frac14,\frac1{12},\frac1{20},\frac1{28},\cdots$

$\vdots$

¿Ves el patrón? Es fácil probar que cada una de las tiras pueden ser cubiertos por el valor especificado rectángulos, ya que $\frac1{2^{-k}}(\frac11+\frac13+\frac15+\cdots) = \infty$ y usted puede colocar los rectángulos en la hilera de la izquierda y la derecha. También es muy básicos de la teoría de números para demostrar que el recíproco de un número natural se produce exactamente una vez.

Answer 5

Aquí es un mosaico utilizando los rectángulos $R_n$ de la altura de la $1$ y la anchura $\frac1n$, con la característica de que la ubicación de ninguno en particular es bastante explícito:

Los rectángulos que se forman filas dividido por las líneas de $y=k.$

Deje $n=2^im$ $m$ impar. A continuación, la esquina inferior izquierda de $R_n$ será en $$(\frac{x_m}{2^i},k)$$ where $k=\frac{i}2$ or $k=-\frac{i+1}2$ according as $i$ es par o impar.

Por encima de $y=0$ $R_m$ con extraña $m$ en el orden $$\cdots R_{11}R_7R_3R_1R_5R_9\cdots$$ with $R_1$ having lower left corner at $(0,0).$ This main row now determines the $x_m$ and the tiling. Specifically $x_m$ is either $1+1/5+1/9+\cdots+1/(m-4)$ or $-(1/3+1/7+1/11+\cdots+1/m).$

Así, a la derecha de la $y$-eje que se $$\cdots R_{32}R_8R_2R_1R_4R_{16}\cdots$$ with each row the same as the main row except compressed horizontally by the appropriate power of $2.$

Si se desea, cada fila puede ser desplazado horizontalmente por $\sqrt{2}$ para evitar los puntos de $(0,k)$ de las intersecciones de los dos rectángulos.