Es Vieta la única manera de salir?

Question

Deje $a,b,c$ son las tres raíces de la ecuación de $x^3-x-1=0$. A continuación, encontrar la ecuación cuyas raíces son $\frac{1+a}{1-a}$,$\frac{1+b}{1-b}$,$\frac{1+c}{1-c}$.

La única solución que pude pensar es mediante el uso de Vieta de la fórmula repetidamente que es sin duda una muy desordenado solución. ¿Hay alguna manera más fácil y más slick manera de hacerlo ?

Answer 1

Transformar la ecuación. Puesto que todas las raíces son simétricas, dicen $$y=\frac {1+x}{1-x}\implies x(y+1)=y-1\implies x=\frac {y-1}{y+1}$$ Substitute this expression in place of $x$ in the original equation and simplify. $$\require{cancel}\begin{align}f(y)&=\biggl(\frac {y-1}{y+1}\biggr)^3-\frac {y-1}{y+1}-1=0\\&\implies(y-1)^3-(y+1)^3-(y-1)(y+1)^2=0\\&\implies (y+1)^3-(y-1)^3+(y-1)(y+1)^2=0\\&\implies \cancel{y^3}+3y^2+\bcancel{3y}+1-\cancel{y^3}+3y^2-\bcancel{3y}+\xcancel{1}+y^3+y^2-y-\xcancel{1}=0\\&\implies y^3+7y^2-y+1=0\end{align}$$Esta es la respuesta.

Answer 2

Desde el polinomio $x^3-x-1$ es irreducible sobre$\def\Q{\Bbb Q}~\Q$ por la raíz racional de la prueba, se podría identificar el elemento $\frac{1+a}{1-a}$ donde $a$ es la imagen de $x$ en el campo de $K=\Q[x]/(x^3-x-1)$, y para calcular su polinomio mínimo de más de$~\Q$; debido a que el grupo de Galois de la división de campo de la $x^3-x-1$ permutes sus raíces transitivamente, que el polinomio también tiene como raíces los elementos obtenidos mediante la sustitución de otra raíz ($b$ o $c$)$~a$.

Para calcular la inversa de a$1-a$$K$, hallar la Bézout coeficientes de $\gcd(1-x,x^3-x-1)=1$ se $-x-x^2$ $-1$ desde $1=(-x-x^2)(1-x) -(-1-x+x^3)$; el primero da a la inversa $-a-a^2$$1-a$. Ahora calcular $ \frac{1+a}{1-a}=(1+a)(-a-a^2)=-a-2a^2-a^3$, que se reduce a $-1-2a-2a^2$$a^3=a+1$. Utilizando la misma relación se encuentra el cuadrado y el cubo de $-1-2a-2a^2$, respectivamente,$9+16a+12a^2$$-65-114a-86a^2$. Ahora simple álgebra lineal se encuentra la dependencia lineal de $1,a,a^2,a^3$ $1-a+7a^2+a^3=0$ por lo que el polinomio que se pidió es $1-x+7x^2+x^3$.