Tengo que demostrar que $$ \lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt x\cos(x-x^2)}{x+1} = 0. $$
He intentado cuadrar tanto el denominador y el numerador para deshacerse de $\sqrt{x}$ pero, a continuación, $\cos$ hace $\cos^2$, y no sé cómo resolverlo/simplificarla.
También he probado a usar el teorema del sándwich con $a_n = 0$, y $$ b_n =\frac{\sqrt x\cos(x-x^2)}{x+1}, $$ but to no avail. I could not find another function that is greater than $b_n$ that has a limit of $0$.
Deje $-1\le \cos \left(x-x^2\right)\le 1$, luego $$\lim _{x\to \infty }\left(\frac{\sqrt{x}\left(-1\right)}{x+1}\right)\le \lim _{x\to \infty }\left(\frac{\sqrt{x}\cos \left(x-x^2\right)}{x+1}\right)\le \lim _{x\to \infty }\left(\frac{\sqrt{x}\cdot1}{x+1}\right)$$ Sigue $$\lim _{x\to \infty }\left(\frac{\sqrt{x}\left(\pm1\right)}{x+1}\right) = \pm\lim _{x\to \infty }\left(\frac{\sqrt{x}}{x+1}\right) = \pm\lim _{x\to \infty }\left(\frac{\frac{1}{\sqrt{x}}}{1+\frac{1}{x}}\right)=\pm\frac{0}{1} = 0$$
@gimusi muestra 'por qué'.
Y este es el 'cómo':
La primera cosa a tener en cuenta es que el coseno se mantiene entre el$-1$$+1$, no importa lo que su argumento es.
La segunda es que una expresión lineal en el denominador crece más rápido que una raíz cuadrada en el numerador.
A continuación, puedes apretar el coseno con $$\pm\frac{\sqrt x}{x+1} $$ whose absolute value is in turn less than $1/{\sqrt x}$.
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