suponga que tiene una función suave $f : \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $f(x,y) = 0$ si cualquiera de las coordenadas $x$ $y$ $0$ (es decir, se desvanece en el conjunto de coordenadas de los ejes). ¿Existen constantes $k>0$$\epsilon>0$, de modo que $|f(x,y)| \leq k|x||y|$, cuando se $|(x,y)| \leq\epsilon$?
Respuestas
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Desde $f$ es suave y se desvanece en el $x-$eje, tenemos $$f(x,y) = \int_0^y f_y(x,s) ds.\tag{1}$$ Because $f$ vanishes on the $y-$axis, we know that $f_y=0$ on the $y-$axis; so if we restrict to the closed ball $\overline{B(0,1)}$ so that $|f_{xy}|$ is bounded by some constant $k$ then we have $$|f_y(x,y)|=\left|\int_0^xf_{xy}(s,y)ds\right|\le \int_0^xk\,ds =k|x|.$$ Thus, applying the exact same kind of estimate to $(1)$ we conclude $$|f(x,y)|\le k|x||y|$$ como se desee.
Martin
Puntos
2000
La expansión de Taylor con respecto a $x$ da $$ f(x, y)=\partial_x f (0,y) x + O(x^2). $$ Ahora la expansión de Taylor $\partial_x f(0, y)$ con respecto al $y$ da $$ \partial_x f(0,y)=\partial_x f(0,0)y+O(y^2)=O(y^2).$$ Aquí hemos utilizado que tanto los parciales de $f$ debe desaparecer en $(0,0)$. Por lo $f(x, y)=O(x^2+xy^2).$ Rehacer todo esto con las funciones de $x$ $y$ invierte da $f(x, y)=O(y^2+yx^2)$. La multiplicación de estas relaciones obtenemos $$ f(x, y)^2=O(x^2y^2+x^4y+xy^4+x^3y^3)=O(xy), $$ que es el tratado de asintótica relación. (no se exactamente)
