La ambigüedad con la Notación de Dirac

Question

Cuando se utiliza la notación de Dirac, ¿cómo podemos distinguir la diferencia entre el interior del producto y de la acción de un covector en un vector?

Como yo lo entiendo, $\vert x \rangle$ es un elemento de decir un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ y cuando escribimos $\langle x \vert$ se denota el correspondiente lineal mapa en $\mathcal{H}^*$ que toma un vector en $\mathcal{H}$$\mathbb{C}$.

Aquí es donde mi confusión está: $\langle x \vert y \rangle$ se supone que es para denotar el "producto interior", definida por la métrica/orthonormality relación $\langle e_i \vert e_j \rangle = \delta _{ij}$ donde $e_i$ indica el $i^{ith}$ base de vectores. Pero, ¿cómo podemos distinguir esto de la actuación de un covector $\langle x \vert$ en un vector $\vert y \rangle$?

Por otra parte, parece que esta notación sólo funciona en el caso de que la base de la $\mathcal{H}^*$ está definido de tal forma que $e^i(e_j) = \delta^{i}_j$. Si hubiéramos elegido una métrica arbitraria $\langle e_i \vert e_j \rangle = g_{uv}$, entonces esta notación no tendría sentido.

Answer 1

El punto de la notación de Dirac es que no hay necesidad de distinguir. Hay un isomorfismo canónico entre los vectores y covectors dada por el interior del producto, por lo que si se denota el producto interior por $(\cdot,\cdot)$, determinado $|\phi\rangle$ $|\psi\rangle$ definimos $\langle \phi |$$\langle \phi | \psi \rangle = (|\phi\rangle, |\psi\rangle)$.

La notación es independiente de la base. Lo que no depende de la base es la relación entre los componentes: los componentes de un covector son los complejos conjugados de los componentes del vector sólo si la base es ortonormales; de lo contrario, usted tiene que bajar/subir los índices con la métrica.