Definición. Deje $X$ $Y$ ser espacios topológicos; deje $p : X \to Y$ un surjective mapa. El mapa de $p$ se dice que es un cociente mapa proporcionado una subconjunto $U$ $Y$ está abierto en $Y$ si y sólo si $p^{-1}(U)$ está abierto en $X$.
Definición. Si $X$ es un espacio de y $A$ es un conjunto y si $p : X\to A$ es un surjective mapa, entonces existe exactamente una topología $\tau$ en $A$ en relación a que $p$ es un cociente mapa; se llama el cociente la topología inducida por $p$.
Definición. Sea X un espacio topológico, y deje $X^*$ ser una partición de $X$ en subconjuntos disjuntos cuya unión es $X$. Deje $p : X \to X^*$ ser el surjective mapa que lleva cada punto de $X$ a, el elemento de la $X^*$ que lo contienen. En el cociente de la topología inducida por $p$, el espacio de $X^ *$ es llamado un espacio cociente de $X$
Parece que para inducir a un cociente de topología mediante el uso de $p$, no tenemos la propiedad de $p$ surjective. ¿Por qué se requiere un cociente mapa surjective? Hay algunas aplicaciones importantes de la surjection propiedad? Para probar que una función que es un cociente de mapa, necesitamos demostrar explícitamente la función es surjective ?
Hace la siguiente imagen que dan algunos intuición? Es de la Wikipedia. La siguiente etapa de este gif es de la $S^2$ obtenido por pegado de la frontera (en azul) del disco de $D^2$ junto a un único punto.
Respuestas
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El cociente del espacio tiene una característica universal, es decir, si $f:X\rightarrow Z$ es una función continua con la propiedad de que $(p(a)=p(b))\Rightarrow (f(a)=f(b))$, $f$ factores a través del cociente de espacio. En otras palabras, existe una única función continua $\widetilde{f}:Y\rightarrow Z$, de modo que $f=\widetilde{f}\circ p$.
$$ \begin{matrix} X && \\ {\scriptsize p} \downarrow & \ \searrow^{f} & \\ Y & \underset{\bar f}{\longrightarrow} & Z \end{de la matriz} $$ Si usted no toma el cociente mapa surjective, esta propiedad falla (el mapa no ser la única).
A partir de la definición de estado, parece que se podría definir un cociente incluso si el mapa de $p$ no es surjective, pero este se rompe una propiedad deseada (que puede que no se han mencionado en sus estudios aún).
Si usted se considera un "cociente mapa" $q$ que tiene todas las propiedades anteriores, pero no es surjective, entonces usted puede escribir $q$ como una composición de un (verdadero) cociente y una inclusión de mapa. En otras palabras, la composición de la $X\stackrel{p}{\rightarrow} Y\stackrel{i}{\hookrightarrow}Z$ es igual a $q$.
$$ \begin{matrix} X && \\ {\scriptsize p} \downarrow & \ \searrow^q & \\ Y & \underset{i}{\hookrightarrow} & Z \end{de la matriz} $$
Un cociente de una división. En el caso de un conjunto, incluso si tiene más estructura como un espacio topológico, esto significa que tenemos que dividir el conjunto en particiones. Cada partición es no vacío y define una clase de equivalencia, es decir, si $x$ $y$ están en la misma partición que son equivalentes.
El más simple relación de equivalencia que se puede definir, que cada elemento del conjunto es sólo equivalente a la misma. En ese caso, el número de clases de equivalencia, o particiones, es igual al número de elementos del conjunto y que es el mayor número de clases de equivalencia que se pueden tener.
Desde un cociente mapa mapas de cada elemento a su clase de equivalencia debe ser surjective.
