El uso de Ramanujan del Método para el almacenaje $\sqrt[3]{7\sqrt[3]{20}-19}$

Question

Una manera posible de denest $(2^{1/3}-1)^{1/3}$ es el primer establecimiento $x=\sqrt[3]{2}$, por lo que$$x^3-1=1\implies x-1=\frac 1{1+x+x^2}=\frac 3{1+3x+3x^2+x^3}$$Multiply both sides by $9$ so$$9(x-1)=\left(\frac 3{1+x}\right)^3\implies\sqrt[3]{9(\sqrt[3]2-1)}=1-\sqrt[3]2+\sqrt[3]4$$However, I'm having trouble adapting this method to denesting both$$\begin{align*}\sqrt[3]{7\sqrt[3]{20}-1} & =\sqrt[3]{\frac {16}9}-\sqrt[3]{\frac 59}+\sqrt[3]{\frac {100}9}\tag1\\\sqrt[3]{7\sqrt[3]{20}-19} & =\sqrt[3]{\frac 49}-\sqrt[3]{\frac {80}9}+\sqrt[3]{\frac {25}9}\tag2\end{align*}$$I've only started on $(1)$ hasta ahora. Aquí está mi trabajo.

Mi trabajo: Vamos a $x^3=6860$$x^3-1=19^3$. Por lo tanto$$x-1=\frac {19^3}{1+x+x^2}=\frac {19^3\cdot3}{3+3x+3x^2}$$However, I'm not quite sure what to do after that. I don't see an easy relationship between three and $x$.

Tal vez me pueden ayudar?

Answer 1

SUGERENCIA:

Un método que demuestra la primera igualdad, pero no es capaz de encontrar un almacenaje.

Se verifica que tanto $\sqrt[3]{7\sqrt[3]{20}-1}$ $\sqrt[3]{\frac {16}9}-\sqrt[3]{\frac 59}+\sqrt[3]{\frac {100}9}$ son raíces del polinomio $x^9 + 3 x^6 + 3 x^3 - 6859$, un polinomio con una única raíz real.

AÑADIDO: tenga en cuenta que el lado izquierdo es una raíz de la ecuación de $(x^3+1)^3= 7^3 \cdot 20=6860$. La función polinómica $(x^3+1)^3$ es estrictamente creciente de manera que la ecuación tiene una única solución.

Decimos que queremos a la derecha en el lado izquierdo como una combinación de la raíz cubica. Esta combinación en general tiene un mínimo polinomio de grado $3\cdot 3 \cdot 3=27$, a menos que exista alguna multiplicativo combinación de estas raíces que le da un número racional. Para nuestros ejemplos, uno se percata de que el producto de estos radicales es un número racional $$\sqrt[3]{\frac {16}9}\cdot \sqrt[3]{\frac 59}\cdot \sqrt[3]{\frac {100}9}=\frac{20}{9}$$

Por lo tanto, en general, estamos buscando un RHS de forma $$\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}-\frac{d}{\sqrt[3]{ab}}$$ con $a$, $b$, $d$ (positivo) racional. Ahora queremos que la RHS a satisfacer una ecuación de la forma $(x^3+1)^3 = 6860$ ( en general, si se trató de denest una expresión de la forma $\sqrt[3]{\sqrt[3]{\alpha}-\beta}$ la ecuación debe ser $(x^3+\beta)^3=\alpha$). Tenga en cuenta que, de hecho, el lado derecho es de la forma $$\sqrt[3]{u^2}+\sqrt[3]{v^2}- p \sqrt[3]{u v}$$ with $u$,$v$, $p$ son racionales(positivos) (debe haber una razón para eso, no del todo claro en este punto). Voy a dejar aquí por ahora.

AÑADIDO: Podemos encontrar una ecuación de grado $9$ con root $\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}-\frac{d}{\sqrt[3]{ab}}$. Es un polinomio con coeficientes racionales expresa como un producto $$\prod_{k,l=0,1,2}(x-(\sqrt[3]{a}\omega^k+\sqrt[3]{b} \omega^l-\frac{d}{\sqrt[3]{ab}\omega^{k+l}}))$$ donde $\omega= \exp(2\pi i/3)$.

No tengo un sistema CAS en el momento lo dejo como esta. Uno debe poner condiciones en $a$, $b$, $d$ así que es un polinomio de la forma $(x^3+\beta)^3-\alpha$. El problema parece factible ahora. También puede aparecer necesario que $a$,$b$ son los cuadrados de los números racionales.