¿Por qué la superselección no prohíbe casi todas las superposiciones?

Question

Una regla de superselección es una regla que prohíbe la superposición de estados cuánticos. Como afirma Lubos ici No se pueden superponer estados con cargas diferentes debido a la conservación de la carga:

Un ejemplo en los comentarios iniciales implicaba la descomposición del espacio de Hilbert en sectores de superselección ${\mathcal H}_Q$ correspondientes a estados con diferentes cargas eléctricas $Q$ . No se hablan entre ellos. Un estado con $Q=-7e$ puede evolucionar a estados con $Q=-7e$ sólo. En general, estas leyes de conservación deben generalizarse a un concepto más amplio, las "reglas de superselección". Cada regla de superselección puede descomponer el espacio de Hilbert en sectores más finos.

Otra posibilidad es decir que no tienen para considerar tales superposiciones; no importa si hay otras ramas de la función de onda con diferentes $Q$ porque nunca van a interferir, así que mejor los echamos. Esto no afecta a los resultados de los experimentos.

Me confunde por qué esta misma lógica no prohíbe casi cualquier superposición. Por ejemplo, a menudo hablamos de una superposición de estados de espín $$|\psi \rangle = \frac{|\uparrow \rangle + |\downarrow \rangle}{\sqrt{2}}$$ o una superposición de estados de momento $$|\psi \rangle = \frac{|p = p_0\rangle + |p = - p_0\rangle}{\sqrt{2}}$$ a pesar de la conservación del momento angular y del impulso. ¿Por qué exactamente la superselección no prohíbe también este tipo de superposiciones?

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La superselección ha sido discutida en este sitio algunas veces, pero no he podido encontrar un argumento que se aplique a la conservación de la carga pero no lo hace se aplican a la conservación del momento; ¡esto no es un duplicado! Un pensamiento que tuve fue que cuando preparamos una superposición de estados de momento, no estamos realmente rompiendo la superselección porque hay una reacción posterior en el aparato de preparación, por lo que realmente tenemos $$|\psi \rangle = \frac{|p = p_0, \text{app. recoils back}\rangle + |p = - p_0, \text{app. recoils forward} \rangle}{\sqrt{2}}$$ y los dos estados tienen el mismo momento. Entonces el estado original que propusimos se alcanza con sólo trazar el aparato; esto no descohesiona la superposición como se explica ici . Esto me parece plausible, pero entonces no entiendo por qué no se podría decir lo mismo de la conservación de la carga, dejándonos sin reglas de superselección. (Es cierto que la carga es discreta, pero se supone que también hay reglas de superselección para las cantidades continuas conservadas).

Answer 1

La superselección no tiene sentido de forma abstracta en un espacio de Hilbert arbitrario, sino sólo en espacios de Hilbert estructurados mediante la introducción de un álgebra de observables distinguidos de interés (es decir, que pueden combinarse para preparar estados), con reglas de conmutación prescritas. Éstas definen la física posible en la clase de modelos considerados, y la superselección es un concepto definido en relación con ellas. (En particular, si la clase de observables relevantes cambia, el concepto de superselección cambia con ella. La ampliación del álgebra de observables puede fusionar algunos sectores, pero suele crear otros).

Ejemplos típicos son las álgebras envolventes universales de las álgebras de Lie, o las $C^*$ generadas por los correspondientes grupos de Lie. Por ejemplo, las álgebras de Heisenberg y los grupos de Heisenberg (o Weyl) corresponden a las reglas de conmutación canónicas, que son la base de gran parte de la física cuántica.

Los espacios de Hilbert de interés son los espacios de representación irreducibles (unitarios continuos) de estas álgebras, álgebras de Lie o grupos. Éstos (o más precisamente las clases de tales espacios de representación equivalentes) se denominan (superselección) sectores de la teoría . Dado que constituyen espacios de Hilbert diferentes, no tiene sentido superponer vectores de los distintos sectores. Se puede definir un producto interno sobre la suma directa de estos espacios de Hilbert, pero el álgebra de operadores sigue mapeando cada sector en sí mismo, por lo que no hay forma de crear (de forma físicamente relevante) una superposición de estados puros dentro de los sectores.

Para las álgebras/grupos de Heisenberg de dimensión finita, todas las representaciones irreducibles unitarias continuas son equivalentes (teorema de Stone-von Neumann); por lo tanto, para las teorías no relativistas de N partículas, no hay reglas de superselección (que especificarían sectores de superselección).

Una vez que se tiene en cuenta el espín, la situación se complica: una mezcla de un estado fermiónico y otro bosónico deja de tener sentido físico, ya que los dos vectores de estado se comportan de forma diferente bajo una rotación de 360 grados, aunque formalmente sigue estando definida. Ninguna cantidad de física nueva cambiará esto.

Para las álgebras/grupos de Heisenberg de dimensiones infinitas, tal y como se dan en la teoría cuántica de campos (relativista o no relativista), el teorema de Stone-von Neumann ya no es válido, y hay incontables representaciones continuas unitarias irreducibles no equivalentes, por lo que hay incontables sectores de superselección, que se distinguen por su comportamiento esencialmente diferente en el infinito espacial.

En términos más técnicos: Las reglas de superselección más interesantes, que dan cuenta de la superconductividad, la carga, el número de bariones, etc., surgen debido a transformaciones de Bogoliubov no implementables, que implican límites tan singulares que conducen fuera del espacio de Hilbert que representa el sector del vacío. En particular, los estados cargados tienen una estructura asintótica suficientemente diferente de los no cargados, ya que el campo de Coulomb es de largo alcance, y pertenecen a diferentes sectores de superselección. Esta es una propiedad general de las cargas en las teorías gauge, véase Strocchi, F., & Wightman, A. S. (1974). Proof of the charge superselection rule in local relativistic quantum field theory. Journal of Mathematical Physics, 15(12), 2198-2224. Ninguna cantidad de física nueva cambiará eso.

En determinadas condiciones, los sectores de superselección pueden clasificarse; véase, por ejemplo, el artículo Teoría de la superselección DHR de nLab. DHR son las siglas de Doplicher, Haag y Roberts; véase, por ejemplo,

• Doplicher, S., y Roberts, J. E. (1990). Por qué hay un álgebra de campo con un grupo gauge compacto que describe la estructura de superselección en particle physics. Communications in Mathematical Physics, 131(1), 51-107.

Las reglas de superselección no tienen nada que ver con las leyes de conservación. A pesar de la conservación del momento, pueden superponerse estados de distinto momento, ya que las transformaciones de Lorentz que convierten un estado de momento en otro son unitarias y, por tanto, están definidas en el mismo espacio de representación.

Answer 2

Creo que el OP está cerca de responder a su propia pregunta al sugerir que "las reglas de superselección son sólo funciones de nuestra tecnología actual". En mi opinión, la respuesta no es más que un enunciado más preciso de esta sugerencia: las reglas de superselección captan las creencias que tenemos sobre la naturaleza de los posibles observables físicos en el universo, limitado por las sondas experimentales y los modelos teóricos actuales.

Para explicarlo, damos primero una definición matemática de los sectores de superselección:

Definición 1 : Considere un espacio de Hilbert $H$ y una colección de subespacios $\{H_i\}$ tal que: $H = \oplus_{i} H_i$ . Decimos que $\{H_i\}$ son sectores de superselección en $H$ si $\langle \psi_i| \mathcal{O}|\psi_j\rangle = 0$ $\forall$ $\psi_{i,j} \in H_{i,j}$ , $i \neq j$ , $\mathcal{O} \in O_{phy}$ donde $O_{phy}$ es el conjunto de todos los observables físicos $\mathcal{O}$ actuando sobre el espacio de Hilbert $H$ .

Hay dos nociones importantes que deben existir a priori en esta definición:

• Tenemos que especifican un espacio de Hilbert . Para resolver dogmáticamente cualquier problema de mecánica cuántica, necesitaríamos un espacio de Hilbert que contuviera los estados de todo el universo para garantizar una evolución unitaria. Sin embargo, en la práctica, a menudo suponemos interacciones suficientemente débiles entre un sistema de prueba $A$ y el resto del universo $B$ tan débil que aproximamos $A$ como aislado (es decir $H = H_A \otimes H_B$ ). De modo que podemos obtener aproximadamente la evolución unitaria restringiéndonos al subespacio del sistema de prueba $H_A$ para todas las interacciones que sólo actúan sobre $H_A$ . Esta libertad de elección de los espacios de Hilbert da un poco de ambigüedad al significado de superselección. Porque es posible que $\{H_i\}$ definir sectores de superselección en $H_A$ mientras que $\{H_i \otimes H_B\}$ no define sectores de superselección en $H_A \otimes H_B = H$ . Más adelante veremos ejemplos que lo ilustran.

• Tenemos que definir observables físicos . Técnicamente, todos los operadores autoadjuntos en $H$ deben ser candidatos admisibles. Pero, basándonos en los conocimientos actuales de la física fundamental, creemos que ciertos operadores autoadjuntos son imposibles de medir y ciertas transiciones entre estados son imposibles de diseñar. Así pues, las reglas de superselección actuales son herramientas prácticas que pueden actualizarse a medida que aprendamos más sobre el mundo y encontremos más observables físicos que posiblemente rompan las reglas existentes.

Ahora veremos dos ejemplos para aclarar por qué estos dos puntos anteriores pueden causar confusión y para postular una definición más completa de las reglas de superselección.

Ejemplo 1 : Para ilustrar la importancia del primer punto, considere el ejemplo de los giros de la OP. Supongamos que observamos el experimento de Stern-Gerlach y definimos $|\uparrow \rangle$ y $|\downarrow\rangle$ como estados propios del $\sigma_z$ operador. Tomamos el espacio de Hilbert $H_A$ que abarcan estos dos estados y postular que los únicos observables físicos en $H_A$ son $f(\sigma_z)$ donde $f$ es una función analítica arbitraria. Ahora se puede comprobar fácilmente que $|\uparrow \rangle$ y $|\downarrow\rangle$ definir sectores de superselección en $H_A$ ¡Solo!

Pero recuerda que tenemos libertad para elegir el espacio de Hilbert. Supongamos ahora que ampliamos nuestro espacio de Hilbert para incluir una segunda partícula $B$ . Aunque restringimos los observables físicos en $H_A$ ser $f(\sigma_z)$ no tenemos que restringir la mezcla de observables $H_A$ y $H_B$ . Incluso si mantenemos la conservación del momento angular total $\sigma_z(A) + \sigma_z(B)$ podemos romper la conservación de $\sigma_z(A)$ o $\sigma_z(B)$ por separado, mezclando así $\{|\uparrow\rangle \otimes H_B\}$ y $\{|\downarrow \rangle \otimes H_B\}$ . Esto implicaría $\{|\uparrow\rangle \otimes H_B\}$ y $\{|\downarrow \rangle \otimes H_B\}$ no definen sectores de superselección en $H_A \otimes H_B$ como se anuncia en el primer punto anterior. Esto es similar en espíritu a la consideración de OP de $p(particle) + p(recoil)$ en el espacio de Hilbert $H_{\text{particle}} \otimes H_{\text{apparatus}}$ .

Ejemplo 2 : Para ilustrar el segundo punto, consideremos el sistema de espín de OP sin añadir la partícula $B$ . En su lugar, ampliamos el conjunto de observables físicos añadiendo $\sigma_x$ . En particular, diseñamos un Hamiltoniano $H= -\sigma_x$ colocando el espín en una unidad de campo magnético transversal (como es habitual, suponemos que las interacciones entre la fuente del campo magnético y la partícula $A$ sea lo suficientemente débil como para que podamos separar $H_A$ ). Supongamos que iniciamos el sistema en $|\downarrow \rangle$ en $t=0$ entonces en $t= \pi/2$ , damos la vuelta completa a los dos sectores: $$ e^{-i Ht} |\downarrow\rangle = e^{i \pi \sigma_x/2} |\downarrow\rangle = i \sigma_x |\downarrow\rangle = i|\uparrow \rangle $$ De nuevo, como se ha anunciado, la introducción de más observables físicos posibles (en este caso la introducción de $\sigma_x$ en el Hamiltoniano) rompe la conservación del momento angular y, por tanto, los sectores de superselección.

Ejemplo 3 : Otro ejemplo para ilustrar el segundo punto. Escapemos un poco más de la realidad e imaginemos por diversión que la QM se descubrió en el siglo XVIII, cuando creíamos en la simetría galileana. Para estudiar los estados en QM, encontramos la representación proyectiva del álgebra de Galilea con $\{K_i\}$ generando impulsos galileanos y $\{P_i\}$ generar traducciones. Cuando componemos boosts y traslaciones, encontramos que para un estado con masa $M$ : $$ e^{-i \vec K \cdot \vec v} e^{-i \vec P \cdot \vec a} = e^{i M \vec a \cdot \vec v/2} e^{-i (\vec K \cdot \vec v + \vec P \cdot \vec a)} $$ Esto significa que una superposición de estados con masas diferentes rompería la simetría galileana, una ley sagrada de la física de entonces. Para evitar ese problema, habríamos adivinado una regla de superselección que prohibiera las transiciones entre estados con masas diferentes. Y esa regla habría resistido la prueba de los experimentos y los modelos teóricos hasta la introducción de la relatividad de Einstein (¡que modificó efectivamente el hamiltoniano, uno de los observables físicos, y sus simetrías fundamentales!) Es un ejemplo bastante dramático, pero creo que demuestra que lo que llamamos físico es siempre una cuestión de creencia contemporánea.

Para resumir lo anterior, volvemos al ejemplo clásico de la carga eléctrica. ¿Por qué los físicos han establecido la convención de que las cargas definen sectores de superselección? Porque la superselección de cargas es en cierto sentido universal . Mientras que la regla de superselección del momento angular depende de la elección del espacio de Hilbert, y la regla de superselección de la masa depende de la elección de los observables físicos, la carga eléctrica es algo diferente. Mientras creamos en el Modelo Estándar, no importa qué espacio de Hilbert $H \subset H_{\text{universe}}$ que elijamos (puede ser el espacio de Hilbert del laboratorio, de la tierra o de todo el universo), los subespacios $\{H_Q \subset H\}$ indexado por el operador de carga total restringida $Q|_H$ definen sectores de superselección en $H$ en el sentido de la definición 1. Coloquialmente, esto equivale a decir: los estados con cargas diferentes no se hablan entre sí, para todas las elecciones del espacio de Hilbert y los observables físicos dentro del Modelo Estándar.

Este último resumen deja claro que las reglas de superselección que tenemos hoy en día están íntimamente relacionadas con las creencias contemporáneas sobre el carácter de las leyes físicas. Quizá algún día exista un nuevo observable físico que mezcle sectores de carga, o un espacio de Hilbert más amplio en el que la carga de un universo pueda intercambiarse por la de otro. Para entonces, tendríamos que derogar el principio de superselección de cargas y, con suerte, encontrar nuevas reglas de superselección que nos hagan la vida más fácil.

Answer 3

Hay una charla de Robert Spekkens en PI sobre este mismo tema.
Vídeo: ¿Son fundamentales las reglas de superselección?

Al parecer, existe (¿existió?) un largo debate entre la gente de la óptica cuántica sobre si los estados coherentes son reales o sólo una ficción.

No estoy lo suficientemente versado como para hacer un buen resumen de esta charla. El resumen que obtuve es que la coherencia es una aproximación conveniente para usar en los cálculos, y esta aproximación se vuelve exacta cuando tu entorno tiene infinitos grados de libertad.
Si se quiere describir todo de la forma más objetiva posible, incluido el entorno, la coherencia no es más que una ficción.

Así que la respuesta a tu pregunta, según esta charla, es... ¿la superposición prohíbe en cierto modo muchas superposiciones?

Algunas referencias:
quant-ph/0507214 - Diálogo sobre dos puntos de vista de la coherencia cuántica: La factual y la ficcional
quant-ph/0610030 - Marcos de referencia, reglas de superselección e información cuántica