Deje $\mathbb{F}_2$ ser el grupo libre generado por $a$$b$. Supongamos que tenemos un homomorphism $\phi: \mathbb{F}_2 \to \mathbb{F}_2$ con la propiedad de que $\phi(aba^{-1}b^{-1}) = aba^{-1}b^{-1}$. Puedo concluir que $\phi$ es surjective? Puedo concluir $\phi$ es un isomorfismo?
Respuestas
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Es un teorema de Nielsen conocido como "Nielsen conmutador de prueba" (Nielsen, J. Morir Isomorphismen der aligemeinen unendlichen Gruppe mit zwei Erzeugenden. De matemáticas. Ann. 78 (1918), 385-397.) indica que automorpisms de $F$ = $\langle x, y \rangle$ son, precisamente, los endomorphisms que tome $[x, y]$ a cualquier conjugado o inversa de la conjugada: es una forma fácil consequense del hecho de que IA-automorphism de $F$ es interior; si usted quiere, puedo escribir la prueba aquí.
Es muy interesante ver que este resultado se extiende a algunos de los otros 2 grupos generados - por ejemplo, 2-genera metabelian grupo (por V. Durnev) y "la mayoría" de los grupos de tipo a $F/[[R, R], F]$ (por N. Gupta y V. Shpilrain) también satisfacer conmutador de prueba.
Robert Bell
Puntos
601
Creo que esto puede ser resuelto mediante la Stallings' pliegues de la siguiente manera.
En primer lugar, tenga en cuenta que si la imagen de $\phi$ fueron abelian, entonces $\phi([a,b]) = [\phi(a),\phi(b)] = 1$. So, the image of $\phi$ es un rango de dos grupos gratis.
Ahora supongamos $\phi(a) = U$, una reducción de la palabra a través de $\{a,b\}$ y de manera similar a $\phi(b) = V$. Deje $|U|$ $|V|$ el valor de sus longitudes.
Stallings' método es representar a $\phi$ como un mapa de gráficos. Comenzar con la gráfica que consta de un par de circuitos---con aristas marcadas y orientado de acuerdo a las letras en cada palabra---de longitud $|U|$$|V|$, respectivamente, y pegarlas en el vértice correspondiente a donde la lectura de las etiquetas de bordes lee de $U$$V$. Llamar a este gráfico de $\Gamma_0$.
Realice ahora Stallings pliegues. Esto significa que si dos marcadas aristas tienen el mismo vértice inicial y la orientación (tanto de distancia desde el vértice inicial o hacia), entonces ellos se identifican. Después de un número finito de pasos, no puede haber más pliegues. Llame a la gráfica resultante $\Gamma_1$ y deje $f_0: \Gamma_0 \to \Gamma_1$ ser el compuesto de pliegues. Tenga en cuenta que $f_0$ induce un isomorfismo en los grupos, ya que la imagen de $\phi$ es un rango de dos grupos gratis.
Por último, vamos a $f_1:\Gamma_1 \to \Delta$ ser el mapa (una inmersión, por diseño---este es el punto de Stallings pliegues) a la rosa con dos pétalos, etiquetados $a$$b$.
El camino de $f_0(U)f_0(V)f_0(U^{-1})f_0(V^{-1})$ es una inmerso camino. Su imagen bajo la inmersión $f_1$ es otra inmerso camino. Pero su imagen, por hipótesis, es$aba^{-1}b^{-1}$$\Delta$. Por lo tanto, las longitudes de $f_0(U)$ $f_0(V)$ 1. Esto implica que $f_0(\Gamma_0) = \Gamma_1$ es una rosa con dos pétalos. En consecuencia, $f_1$ induce un isomorfismo en el grupo fundamental de la $\Delta$. Desde $f_1 \circ f_0$ es $\phi$, $\phi$ es surjective (y un isomorfismo).
