Deje $\mathbb{F}_2$ ser el grupo libre generado por $a$$b$. Supongamos que tenemos un homomorphism $\phi: \mathbb{F}_2 \to \mathbb{F}_2$ con la propiedad de que $\phi(aba^{-1}b^{-1}) = aba^{-1}b^{-1}$. Puedo concluir que $\phi$ es surjective? Puedo concluir $\phi$ es un isomorfismo?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Es un teorema de Nielsen conocido como "Nielsen conmutador de prueba" (Nielsen, J. Morir Isomorphismen der aligemeinen unendlichen Gruppe mit zwei Erzeugenden. De matemáticas. Ann. 78 (1918), 385-397.) indica que automorpisms de $F$ = $\langle x, y \rangle$ son, precisamente, los endomorphisms que tome $[x, y]$ a cualquier conjugado o inversa de la conjugada: es una forma fácil consequense del hecho de que IA-automorphism de $F$ es interior; si usted quiere, puedo escribir la prueba aquí.
Es muy interesante ver que este resultado se extiende a algunos de los otros 2 grupos generados - por ejemplo, 2-genera metabelian grupo (por V. Durnev) y "la mayoría" de los grupos de tipo a $F/[[R, R], F]$ (por N. Gupta y V. Shpilrain) también satisfacer conmutador de prueba.
Creo que esto puede ser resuelto mediante la Stallings' pliegues de la siguiente manera.
En primer lugar, tenga en cuenta que si la imagen de $\phi$ fueron abelian, entonces $\phi([a,b]) = [\phi(a),\phi(b)] = 1$. So, the image of $\phi$ es un rango de dos grupos gratis.
Ahora supongamos $\phi(a) = U$, una reducción de la palabra a través de $\{a,b\}$ y de manera similar a $\phi(b) = V$. Deje $|U|$ $|V|$ el valor de sus longitudes.
Stallings' método es representar a $\phi$ como un mapa de gráficos. Comenzar con la gráfica que consta de un par de circuitos---con aristas marcadas y orientado de acuerdo a las letras en cada palabra---de longitud $|U|$$|V|$, respectivamente, y pegarlas en el vértice correspondiente a donde la lectura de las etiquetas de bordes lee de $U$$V$. Llamar a este gráfico de $\Gamma_0$.
Realice ahora Stallings pliegues. Esto significa que si dos marcadas aristas tienen el mismo vértice inicial y la orientación (tanto de distancia desde el vértice inicial o hacia), entonces ellos se identifican. Después de un número finito de pasos, no puede haber más pliegues. Llame a la gráfica resultante $\Gamma_1$ y deje $f_0: \Gamma_0 \to \Gamma_1$ ser el compuesto de pliegues. Tenga en cuenta que $f_0$ induce un isomorfismo en los grupos, ya que la imagen de $\phi$ es un rango de dos grupos gratis.
Por último, vamos a $f_1:\Gamma_1 \to \Delta$ ser el mapa (una inmersión, por diseño---este es el punto de Stallings pliegues) a la rosa con dos pétalos, etiquetados $a$$b$.
El camino de $f_0(U)f_0(V)f_0(U^{-1})f_0(V^{-1})$ es una inmerso camino. Su imagen bajo la inmersión $f_1$ es otra inmerso camino. Pero su imagen, por hipótesis, es$aba^{-1}b^{-1}$$\Delta$. Por lo tanto, las longitudes de $f_0(U)$ $f_0(V)$ 1. Esto implica que $f_0(\Gamma_0) = \Gamma_1$ es una rosa con dos pétalos. En consecuencia, $f_1$ induce un isomorfismo en el grupo fundamental de la $\Delta$. Desde $f_1 \circ f_0$ es $\phi$, $\phi$ es surjective (y un isomorfismo).