Supongamos que tenemos un infinito de la matriz a = (aij) (i, j enteros positivos). ¿Qué es el "derecho" de la definición de determinante de una matriz? (¿O tal noción siquiera existe?) Por supuesto, yo no necesariamente esperar que todos los tales que la matriz tiene determinante -- presumiblemente hay preguntas de convergencia, pero, ¿qué se debe la cantidad? El problema que tengo es que hay varias maneras de mirar el determinante de la matriz cuadrada de un número finito de, y no está claro para mí lo que la "esencia" de la determinante.
Respuestas
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Hay una clase de operadores lineales que tienen un factor determinante. Son, por alguna extraña razón, conocido como "operadores con un factor determinante".
Para espacios de Banach, los detalles esenciales ir a lo largo de estas líneas. Fijar un espacio de Banach X, y considerar el finito rango lineal de los operadores. Eso significa que T: X → X es tal que Im(T) es finito dimensionales. Dichos operadores tienen una bien definida de seguimiento, tr(T). El uso de este seguimiento, se puede definir una norma en el subespacio de finito de clasificación de los operadores. Si nuestro operador se diagonalisable, se podría definir como la suma de los valores absolutos de los valores propios (de los cuales sólo un número finito no son cero, por supuesto). Esta norma es más fino que el operador de la norma. A continuación, tomamos el cierre, en el espacio de todos los operadores en el espacio de finito de clasificación de los operadores con respecto a este seguimiento de la norma. Estos operadores se llama traza de la clase de los operadores. Por ejemplo, hay una bien definida la noción de una traza.
(Por cierto, estos operadores forma de dos caras ideal en el espacio de todos los operadores y en realidad son el doble de espacio de operadores a través de la vinculación (S,T) → tr(ST).)
Ahora traza y determinante están muy estrechamente vinculados a través de la forumula etr T = det eT. Esto significa que podemos usar nuestra clase de seguimiento de los operadores para definir una nueva clase de "operadores con un factor determinante". La clave de la propiedad debe ser que la exponencial de una clase de seguimiento operador debe tener un factor determinante. Esto sugiere mirando la familia de operadores que se diferencian de la identidad por parte de una clase de seguimiento del operador. Dentro de esto, podemos ver que el grupo de unidades, que es invertible operadores.
Así que un "operador con una participación determinante" es un operador invertible que difiere de la identidad de uno de la clase de seguimiento.
Para más detalles, te recomiendo el libro "Traza ideales y sus aplicaciones" por Barry Simon (MR541149) y el artículo "Sobre la homotopy tipo de ciertos grupos de operadores" de Richard Palais (MR0175130).
Pero definir el determinante de una arbitraria operador es, por supuesto, imposible. Uno siempre puede encontrar una renormalisation para un determinado operador, pero no sólo no va a ser un sistema que funciona para todo: obviamente det(I) = 1, pero entonces det(2I) = ?
(Debo decir también que he recogido los espacios de Banach para facilitar la exposición. Uno puede generalizar esta localmente convexo espacios topológicos, pero que implica el manejo de los materiales nucleares, por lo que se recomienda precaución.)
Vetle
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Hay un montón de sutilezas que usted necesita mirar hacia fuera para. Primero de todos, "infinito matrices" no están bien definidos como transformaciones lineales sin hipótesis adicionales. Un caso típico en la combinatoria es que la matriz es triangular y sólo estás interesado en cómo se actúa en un espacio de poder formal de la serie; el t-ádico topología es lo que le da la convergencia de aquí. Un caso típico en el análisis es que estás describiendo una limitada operador lineal entre separables de Hilbert espacios y, a continuación, existe la noción de ortonormales base para trabajar. En cualquier caso, usted necesita una topología en el espacio vectorial subyacente para hacer sentido de infinito sumas.
Si se define el determinante de una matriz como el producto de sus valores propios, a continuación, se ejecuta en dificultad inmediata: "infinito matrices" no necesariamente tiene cualquiera, incluso a través de una algebraicamente cerrado de campo. Y en el mejor caso, por ejemplo, compacta auto-adjunto, los valores tienden a cero y su producto es cero. También creo que uno puede mostrar que no es trivial continua homomorphism GL(H) -> C para H un espacio de Hilbert. Por último, si se piensa en el factor determinante en términos de exterior poderes, entonces no es difícil ver que para un infinito-dimensional espacio H, sin embargo, se quiere definir el exterior de las potencias de H siempre deben ser de dimensiones infinitas.
Habiendo dicho todo eso, hay una noción de regularización determinante en la literatura, pero me temo que no puedo decirte nada al respecto.
