Encontrar un contraejemplo en la teoría de modelos

Question

Actualmente estoy leyendo sobre modelos de Teoría de Conjuntos, y estoy haciendo ejercicios para entender mejor los conceptos. En el texto más reciente de Kunen sobre Teoría de Conjuntos, menciona que si tenemos un modelo transitivo $M$ y si $\cap^M$ está definido, entonces $\cap$ es absoluta. A continuación, propone el siguiente ejercicio:

Describir un no transitivo de dos elementos $M$ que es isomorfo a $\{0,1\}$ tal que $\cap^M$ está definido, pero $\cap$ no es absoluto para $M$ y tal que $\subset$ no es absoluto para $M$ .

Estoy teniendo problemas para llegar a tal dos elementos $M$ ya que no he visto muchos ejemplos de modelos que se utilicen fuera de la teoría. Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Sea $M$ constan de dos conjuntos $\{A,B\}$ tal que $A\not\subset B$ pero también $A\in B$ y $B\notin A$ . Por ejemplo, se puede tomar $A=\{\emptyset\}$ y $B=\{A\}$ . De ello se deduce que $M$ piensa $A$ no tiene elementos (ya que no tiene elementos en $M$ y, por lo tanto $M\models A\subset B$ aunque esto no sea cierto externamente a $M$ . Del mismo modo, $M$ piensa $A\cap B=A$ ya que no hay elementos en $M$ que están en ambos $A$ y $B$ por lo que esta intersección tiene los mismos elementos en $M$ como $A$ tiene en $M$ . Pero externamente, podemos ver que $A\cap B\neq A$ . Así que $M$ piensa $A$ está vacío y $B$ es singleton $A$ Así que $M$ es isomorfo a $\{0,1\}$ .