La probabilidad de lanzar las bolas en cajas.

Question

Supongamos que tenemos $M$ bolas colocadas al azar en $N$ cuadros, donde cada bola tiene una posibilidad igual de aterrizaje en cada bin. ¿Cómo podemos encontrar el número esperado de bolas en el primer cuadro?

Supuse que podríamos utilizar una distribución binomial, en la cual consideraríamos un balón sea lanzado en el primer cuadro como un éxito, y la probabilidad de éxito es $1/N$. Por lo tanto, a partir de este, el valor esperado de las bolas en el primer cuadro de es $M/N$. Es este un enfoque correcto?

Answer 1

Una forma de comprobar el resultado:

Deje $E_N(M)$ ser el esperado número de bolas en el primer bin determinado $N$ papeleras y $M$ bolas, donde $E_N(0) = 0$. A la hora de asignar una sola bola, hay un $\frac{1}{N}$ posibilidad de ir a cualquier particular ubicación fija. Para una prueba determinada, hay dos resultados: o Bien una pelota que va al primer recipiente y añadimos uno para el total deseado, o se va a otra parte y vamos a añadir nada. De cualquier manera, empezamos con $M-1$ bolas.

$$E_N(M) = \frac{1}{N}(1 + E_N(M-1)) + \frac{N-1}{N}(E_N(M-1)) = \frac{1}{N}+E_N(M-1)$$

En otras palabras:

$$E_N(M) = \sum_{k=1}^{M} \frac{1}{N} = \frac{M}{N}$$

Answer 2

Número de la $M$ bolas con cada entero $i$$1$$M$, inclusive.

La primera bola puede estar en el primer cuadro, con una probabilidad de $1/N$, o no, con una probabilidad de $1-1/N$. El número esperado de copias de la primera bola en el primer cuadro es, pues, $$E_1 = 1(1/N) + 0(1-1/N) = 1/N$$

Este razonamiento funciona para todos los de la $i$ (no hay nada especial acerca de la primera bola). Además, desde la colocación de las bolas son físicamente independientes de los eventos, deben ser matemáticamente independientes, de modo que podemos simplemente añadir el $E_i$:

$$\displaystyle\sum_{i=1}^M E_i = \frac{M}{N}$$

Answer 3

deje $E_j$ ser el número esperado de bolas en la $j^{th}$ cuadro. a continuación, por la simetría $E_i=E_j$. también
$$ \sum_{i=1}^N E_i = M $$