Los rayos reflejados /líneas de rebote en un círculo?

Question

Considere la siguiente situación.

Usted está de pie en una habitación que es perfectamente circular, con los espejos de las paredes. Que una luz, un rayo de luz, en una dirección aleatoria. La luz jamás volverá a su posición original (el único punto donde la luz se originó a partir de)? Si es así, ¿volverá a su posición una cantidad infinita de veces o una definida cantidad de veces? Podrá volver a su posición original en la dirección original?

Pensé que de este pequeño teaser al leer acerca de un problema con respecto a los radios de un círculo, y se preguntó acerca de esta cuestión.

En cuanto a mis intentos, esto es más allá de mi habilidad.

Answer 1

Esto puede ser resuelto por completo al caracterizar el conjunto de puntos en el rayo que están a la misma distancia desde el centro como el punto original. Se consideran dos tipos de simetrías que generan todos estos puntos. Aquí es un diagrama que muestra todos los puntos que considerar:

En particular, si nuestro punto inicial es $C$, considerar la línea de $AB$ que es coincidente con el rayo y que ha $A$ $B$ tanto en el círculo unidad y $B$ en el reenvía la dirección de los rayos. Este segmento sería visible si disparo un rayo en cualquier dirección, y no rebote. Observe que, si $O$ es el centro del círculo, entonces el ángulo de $\alpha=\angle AOB$ es significativo ya que la rotación de $\alpha$ (en la misma dirección que la rotación que lleva $B$$A$) toma un segmento de la ray para el próximo segmento después de la bota.

Uno puede darse cuenta que esta rotación, que conserva la distancia desde el centro del círculo - para cada punto de la historia en esta distancia en cualquier segmento de la luz del camino es una rotación de uno en el que la distancia en $AB$. No puede haber más de dos puntos - el punto de $C$ sí, y el punto de $C'$ que es el reflejo de $C$ a través de la mediatriz de $AB$. Pongámonos $\beta=\angle COC'$ que debe ser tomado como una firma de ángulo, de modo que si la rotación de la toma de $C$ $C'$es la dirección opuesta a la que la toma de $A$$B$, tomamos $\beta$ a ser negativo. Siempre vamos a considerar $\alpha$ a ser positivo.

Observe que si el rayo vuelve, entonces hay algunos que no trivial de rotación de la toma de $C$ a sí mismo. Eso significa que uno de lo siguiente es verdadero (para algunos enteros $n,k$): $$n\alpha = 2\pi k$$ $$n\alpha + \beta = 2\pi k.$$ Esta completamente caracteriza el problema. Uno debe tener en cuenta que cualquier punto dentro de un círculo, junto con un rayo que se extiende desde allí puede ser descrito hasta rotación y reflexión de un par de $(\alpha,\beta)$$0\leq \alpha \leq \pi$$|\beta|\leq \alpha$.

El caso de $C$ está en la circunferencia corresponde al caso de $|\beta|=\alpha$. Uno debe tener en cuenta que el primer conjunto de soluciones es justo cuando $\alpha$ es un racional múltiples de $\pi$, en cuyo caso el rayo es verdaderamente periódico. Por otra parte, si $\beta$ es un racional múltiples de $\pi$, el segundo conjunto de soluciones no agrega nuevas soluciones para $\alpha$ (lo que significa que si el rayo regresó jamás, sería rebote periódicamente).

Answer 2

No es una respuesta completa.

Caso 1 - Usted está en la circunferencia. El rayo de retorno si y sólo si el ángulo de tiro es$k\pi$$k\ \in \Bbb Q$.

Caso 2 - Usted está no en la circunferencia y disparar en el ángulo de la $k\pi$. Si se dibuja la línea que pasa a través de la posición de inicio y la primera golpear a punto de interects la circunferencia en un tercer punto,$A$. Ahora si disparas de $A$ en el mismo ángulo, en caso de -1-, y volverá a $A$ y, como consecuencia, se volverá a la posición inicial inmediatamente después.

Caso 3 - Usted está no en la circunferencia y disparar con ángulo de $\theta$ que es un irracional múltiples de $\pi$. En este caso es posible regresar, aquí es por qué. Tomar un punto de $A$ en la circunferencia y disparar un rayo con ángulo de $\theta$ y llame a $B$ el primer punto de golpear. Ahora bien, si se sigue el camino de los rayos, seguro que interects el segmento de $AB$ en un punto de $C$. Por lo tanto si empiezas desde $C$ y disparar un rayo a $B$(con ángulo de $\theta$) volverá a $C$.

Comentarios: siendo posible que el caso donde disparar desde un punto dentro del círculo, pero nunca regreso. Observe también que en el último caso, el rayo intersecta el segmento de $AB$ infinitamente muchas veces siempre en un punto diferente, por lo que existen infinidad de opciones para $C$.

Answer 3

Una vez que el rayo de luz choca con la pared, por primera vez, va a rebotar en un cierto ángulo. Desde todos los puntos de un círculo son esencialmente los mismos, la pregunta es: si un rayo parta de un punto de $A$ en un círculo en un ángulo de $\theta$ (a partir del radio en ese momento), donde va a ir?

Mira el siguiente diagrama.

La igualdad de los ángulos $OAB$ $OBA$ es justificado desde $AOB$ es un triángulo isósceles. La igualdad de $ABO$ $OBC$ es justificado por la ley de la reflexión, combinado con el hecho de que el radio de $OB$ es normal para el círculo de la $B$. Estos argumentos pueden ser continuado para mostrar que cada vez que el rayo golpea el espejo, lo hará en un ángulo de incidencia $\theta$!

Ahora, los puntos $A$, $B$, $C$ en que la luz incide en el espejo es el primero de una secuencia $A = x_0, x_1, ...$ de los puntos. Cuáles son las coordenadas polares de estos puntos? El angular de coordenadas de $A = x_0$ de curso $0$. Y $B=x_1$? Mirando el diagrama, podemos ver que es $\pi - 2\theta$. De hecho, debe quedar claro que el angular de coordenadas de $x_n$$n(\pi - 2\theta)$.

Por lo tanto, nos puede olvidarse de que el rayo de luz y las leyes de la refracción. Simplemente estamos interesados en una secuencia de ángulos $n\alpha$ para algunos ángulo de $\alpha$. Es periódico, por ejemplo? Desde $n\alpha$ es el argumento de $(e^{i\alpha})^n$, también podemos ver esto como una pregunta acerca de los números complejos, cuestión que es bien conocido y resuelto. En resumen, la respuesta es: si $\alpha/\pi$ es racional, la secuencia es finito, y por lo tanto periódicas). De lo contrario, la secuencia es denso en el círculo, es decir, el rayo de luz que eventualmente hits más o menos cada punto en el círculo.

La pregunta acerca de qué puntos dentro del círculo de la luz atraviesa como se hace esto (¿vuelve a su posición original, etc), probablemente puede ser deducida a partir de los hechos anteriores. Ciertamente, la luz nunca va a volver a su posición original con el mismo vector de velocidad a menos $\alpha/\pi$ es racional (en cuyo caso lo hará), ya que este es equivalente a la secuencia $n\alpha$ periódico.

Si $\alpha/\pi$ no es racional, el conjunto de puntos en el círculo golpeado por el rayo es denso en el círculo, así que me imagino que el conjunto de puntos que la luz pasa a través de la que probablemente es denso en el disco, aunque supongo que no podría ser. Si es así, por lo menos podemos decir que la luz va a pasar arbitrariamente cerca de su punto de partida.

Answer 4

Es más de óptica/física. Si la habitación es cilíndrico, el rayo va a infinito.

Si es esférica, a continuación, wlog considerar originarios ray estar a una distancia mínima desde el centro de la $r<R$ donde $R$ es la esfera de radio.

Como el incidente y los rayos reflejados son iguales por las leyes de la reflexión de todos los rayos están confinados en un plano que contiene inicial ray y el centro de la esfera.

Al $$ n= \dfrac{\pi}{\cos^{-1} \frac{r}{R}} $$

es un número entero entonces los rayos recorrer su propio camino en el límite de un polígono regular de $2 n$ lados, más todos los radios están confinados en el anillo de los extremos de los radios $r,R.$

Ídem para cilíndrico tubo espejo al iniciar ray , el eje del cilindro y el radio son mutuamente ortogonales.