¿Cuál es la integral de $\int_0^\infty \frac{dx}{(x^4+1)^5}$

Question

$$\int_0^\infty \frac{dx}{(x^4+1)^5}$$

Mi respuesta sería : $\dfrac{\Gamma(\tfrac{1}{4})\Gamma(\tfrac{19}{4})}{4\Gamma(5)}$

Solución: Puede utilizar este técnica. - Mhenni Benghorbal

Answer 1

Utilizando el muy buen método sugerido y recomendado por Mhenni Benghorbal, el problema se vuelve efectivamente bastante simple. Utilizando $$1+x^4=\frac{1}{t}$$ entonces tenemos $$x=\frac{\sqrt[4]{1-t}}{\sqrt[4]{t}}$$ $$dx=-\frac{1}{4 (1-t)^{3/4} t^{5/4}}$$ $$\int_0^\infty \frac{dx}{(x^4+1)^5}=\frac{1}{4} \int_0^1 t^{15/4} (1-t)^{-3/4} ~dt =\frac{1}{4} B\left(\frac{19}{4},\frac{1}{4}\right) $$ El resultado final puede escribirse de muchas formas diferentes y, en particular, en términos de $\Gamma$ como has publicado; en fcat, el resultado se simplifica a $\frac{1155 \pi }{4096 \sqrt{2}}$ .

De forma más general, y siempre utilizando la misma técnica, se podría establecer fácilmente $$\int_0^\infty \frac{dx}{(x^m+1)^n}=\frac{\Gamma \left(1+\frac{1}{m}\right) \Gamma \left(n-\frac{1}{m}\right)}{\Gamma (n)}$$ proporcionó $\Re(m n)>1\land \Re(m)>0$ .

Yendo aún más lejos, $$\int_0^\infty \frac{x^p~~dx}{(x^m+1)^n}=\frac{\Gamma \left(\frac{p+1}{m}\right) \Gamma \left(\frac{m n-p-1}{m}\right)}{m \Gamma (n)}$$ proporcionó $\Re(m n-p)>1\land \Re(p)>-1\land \Re(m)>0$ .

Debo subrayar que, para tu problema concreto, intentar calcular primero la antiderivada habría sido una pequeña pesadilla (un CAS permitía generar una expresión bastante larga).

Answer 2

Dejemos que $x = \sqrt{\tan \theta}$ . Entonces, $dx = \dfrac{1}{2\sqrt{\tan \theta}}\cdot \sec^2 \theta d\theta =\dfrac{d\theta}{2\sin^{1/2}\theta\cos^{3/2} \theta}$ . Si $x = 0$ , $\theta = 0$ y si $x \to \infty \ \Rightarrow \ \theta = \pi/2$ .

$I =\int_{0}^{\infty}\dfrac{dx}{(x^4 + 1)^5} = \dfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\dfrac{\cos^{10}\theta d\theta}{\sin^{1/2}\theta\cos^{3/2}\theta} = \dfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\sin^{-1/2}\theta\cos^{17/2}\theta d\theta$

Función beta : $B(x,y) = 2\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2x - 1}\theta \cos^{2y - 1}\theta d\theta $

Así, $x = 1/4$ y $y = 19/4$ y $I = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}B(1/4,19/4) = \dfrac{1}{4}\dfrac{\Gamma(1/4)\Gamma(19/4)}{\Gamma(5)}$

Answer 3

El resultado es efectivamente cierto, y el método utilizado para obtenerlo ya ha sido descrito. Ahora sólo queda simplificarla utilizando la fórmula de Euler fórmula de reflexión para el $\Gamma$ función para llegar finalmente

al resultado deseado, $~I=\dfrac{1155}{2^{12}}\cdot\dfrac\pi{\sqrt2}$

Answer 4

\begin {align} x^4+1 & = (x^4 +2x^2 + 1)-2x^2 \\ [8pt] & = (x^2+1)^2 - ( \sqrt {2}\, x)^2 \\ [8pt] & = (x^2 - \sqrt {2}\, x +1)(x^2 + \sqrt {2}\, x + 1) \end {align}

Luego pasa a las fracciones parciales.