Una cuerda abierta, por otro lado, tiene dos termaciones y es topológicamente equivalente a un intervalo de línea.

Question

Me preguntaba si existe una métrica $d:X\times X\longrightarrow\mathbb{R}$ ( $X:=(-1,1)$ ) tal que $(-1,1)$ es completa y que $(d,X)$, $(d_{usual},X)$ son topológicamente equivalentes?

Sé que, por ejemplo, $(-1,1)\longrightarrow\mathbb{R}$ es un homeomorphism, ya que podemos encontrar un uno-a-uno la función $f$ tal que $f$ $f^{-1}$ es continua. Así que podemos concluir que el $(-1,1)$ $\mathbb{R}$ son homeomórficos. Pero, ¿qué acerca de la $(d,X)$$(d_{usual},X)$?

Answer 1

Cualquier homeomorphism $f : (-1, 1) \to \mathbb{R}$ de los rendimientos de un completo sistema de medición para $(-1, 1)$, debido a $\mathbb{R}$ es completa. Acaba de poner a $d(x_0, x_1) = d(f(x_0), f(x_1))$. Tenga en cuenta que $d$ es, obviamente, simétrica y satisface la desigualdad de triángulo. El único punto en el que usted necesita para utilizar el hecho de que $f$ es un bijection es mostrar que $d(x_0, x_1) = 0$ implica $x_0 = x_1$; y para mostrar que $d$ es topológicamente equivalente a la norma métrica en $(-1, 1)$, usted necesita usar el hecho de que $f$ es un homeomorphism.