Sé que esta secuencia converge porque es creciente y acotada (bueno, esta es la forma usual para demostrarlo). En algunos libros, el número de $e$ se define a este límite.
Pero en otros libros el número de $e$ se define de esta manera: $$e=\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}$$ y la función exponencial $$e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac x{n!}$$
Pero mi problema es demostrar que ambas definiciones están de acuerdo. Assumig la segunda definición de la $e$$e^x$, he hecho esto:
Yo defino $f_n(x)=\left(1+\frac xn\right)^n$. Entonces me tome cualquier intervalo compacto $[a,b]$, y muestran que la secuencia numérica $$\left\{\left(1+\frac xn\right)^n\right\}_{n=1}^\infty$$ es monótona y acotada para cada $x\in[a,b]$. Así que la secuencia de funciones de $f_n$ converge -pointwisely al menos - en ese intervalo. Vamos a ser $f$ el límite.
Ahora $$f'_n(x)=\frac1nn\left(1+\frac xn\right)^{n-1}$$ y vemos que $\lim f'_n=f$; por lo tanto, $f'=f$.
Desde $f(0)=1$, podemos deducir que $f(x)=e^x$.
Este no es un ejercicio, ni nada de eso, pero me gustaría asegurar que si vevery paso en mi prueba es correcta.
Estoy especialmente dudosa con la derivada de la secuencia. Necesito convergencia uniforme para hacer eso? ¿Cómo podría yo demostrar que en este caso?
