Forma alternativa de hacer este autovector problema

Question

Sólo me preguntaba si hay una forma más rápida o la mejor manera de hacer esta pregunta.

Tengo 3 matrices: $A = {1\over2}\hbar\left( \begin{smallmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{smallmatrix} \right), B = {1\over2}\hbar\left( \begin{smallmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{smallmatrix} \right), C = {1\over2}\hbar\left( \begin{smallmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{smallmatrix} \right), $

Deje $D = A^2+B^2+C^2$ y $v$ es un autovector de a $C$, (con autovalor $-{1\over2}\hbar$).

Pregunta: Mostrar que $v$ es un autovector de a $D$ con autovalor ${1\over2}({1\over2}+1)\hbar^2$.

Mi opinión: $D={3\over4}\hbar^2\left( \begin{smallmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{smallmatrix} \right)$. $Cv=-{1\over2}\hbar v \implies C^2v={1\over4}\hbar^2 v$.

Desde $C^2={1\over4}\hbar^2\left( \begin{smallmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{smallmatrix} \right)=B^2=A^2$, Por Lo $Dv = 3\times {1\over4}\hbar^2v$. Así que hemos terminado.

Aunque he de obtener la respuesta numérica, no es inmediatamente en el formulario de pedido. Alguien podría sugerir otra forma de hacer esto? Gracias.

Answer 1

Las matrices $A$, $B$, $C$ son múltiplos de las matrices de Pauli. Sus relaciones de conmutación son

$$[B,A]=\mathrm i\hbar C$$

y cíclica de las permutaciones de los mismos. Estas son las relaciones de conmutación de los operadores de momento angular, o, matemáticamente hablando, de los generadores de $SU(2)$, que forman una base de $\mathfrak{su}(2)$, la Mentira álgebra de $SU(2)$. Proporcionan una representación irreducible de $\mathfrak{su}(2)$ (de la definición de la representación). El Casimir invariante dada por la suma de los cuadrados de los generadores actúa como un múltiplo de la identidad dentro de un irreductible de la representación, el factor de ser $j(j+1)$ donde $j$ etiquetas de las representaciones irreducibles y puede ser entero o de medio entero. La definición de la representación ha $j=\frac12$, lo $j(j+1)=\frac12(\frac12+1)=\frac34$. Así que no sólo los vectores propios de a $v$ son vectores propios de a $D$; todos los vectores son vectores propios de a $D$ con el mismo autovalor. (Esto sólo se aplica dentro de un irreductible a la representación; una representación reducible por lo general contienen vectores propios del cuadrado del momento angular del operador correspondiente para diferentes valores de $j$.)

Obviamente hay mucho más que decir sobre todo esto; espero que le he dado algunos consejos que mirar si estás interesado en el fondo de esta cuestión.