No estoy seguro de por qué su pregunta no reciben más atención, ya que parece ser una buena pregunta. Había esperanza de que alguien iba a responder, pero parece que no va a suceder; voy a dar lo mejor de mi interpretación de la equivocación, pero lo tomamos con un poco de escepticismo. Para responder a su pregunta, permítame mostrar la forma más sencilla de obtener la solución correcta:
La transformación de lorentz debe ser utilizado en este problema. Toma los eventos de $(t,x)$ en el resto de marco (denotado $S$) y los convierte en el sistema de coordenadas del bastidor móvil $(\bar t, \bar x)$ denotado $\bar S$:
$$ \begin{array}{c|c}
\text{Lorentz Transformation} & \text{Inverse Transformation} \\
\bar t = \gamma (t - vx/c^2) & t = \gamma (\bar t + v\bar x / c^2) \\
\bar x = \gamma (x - vt) & x = \gamma(\bar x + v\bar t)
\end{array}$$
Vamos a utilizar la inversa de la transformación. Vamos evento $A$ ser la emisión de la luz del reloj en la parte delantera del tren y $B$ la recepción de la luz del reloj en la parte trasera del tren. Entonces Las coordenadas de $A$ $B$ $\bar S$ son:
$$ \bar A = (\bar t_1, \bar x_2) = (\bar t_1, \bar \ell)$$
$$ \bar B = (\bar t_2, \bar x_2) = (\bar t_2, 0)$$
Donde he utilizado la 'verdadera' de longitud del tren de a se denota como $\bar \ell$ en lugar de $\ell_0$ (aleatorio '$0$' subíndice es peligroso aquí). La ejecución de estos eventos a través de la transformación inversa se obtiene:
$$\begin{align}
A &= (t_1, x_1) = ( \gamma(\bar t_1 + v \bar \ell / c^2), \gamma(\bar \ell + v \bar t_1) ) \\
B &= (t_2, x_2) = ( \gamma \bar t_2, \gamma v \bar t_2)
\end{align} $$
Para encontrar la diferencia en el tiempo, restamos $B-A$:
$$\begin{align}
t_2 - t_1 &= \gamma(\bar t_2 - \bar t_1 - v\bar \ell /c^2) \\
x_2 - x_1 &= \gamma(v(\bar t_2 - \bar t_1) - \bar \ell)
\end{align}$$
Utilizando el hecho de que $\bar t_2 - \bar t_1 = \bar \ell / c$, entonces la respuesta se materializa fuera de la primera coordenada:
$$ t_2 - t_1 = \gamma( \frac{\bar \ell}{c} - \frac{v \bar \ell}{c^2}) $$
¿por qué el enfoque ingenuo no funciona:
Vamos a dibujar los diagramas de minkowski para el bastidor móvil $\bar S$ y el resto marco de $S$ (que tiene una X en ello porque no es lo correcto):
![minkowski diagrams]()
La parte trasera del tren se coloca en el origen de $\bar S$. Tenga en cuenta que el eje vertical es el eje de tiempo, y las posiciones de las partes delantera y trasera del tren, son invariables en el $\bar S$. En $S$ se mueven con velocidad de $v$, por lo que tienen pendientes $1/v$. El rayo de luz viaja a una $45^\circ$ $A$ $B$(una declaración verdadera en tanto $\bar S$$S$).
El enfoque ingenuo (que lo probé por primera vez demasiado) es mirar el $S$ diagrama y dicen que el rayo de luz que viaja a la parte posterior del tren de$x_1 = \ell = \bar \ell / \gamma$$x_2 = v (t_2 - t_1)$. Todo esto lo hace a la velocidad de la $c$, lo $ c(t_2 - t_1) = x_2 - x_1 = v(t_2 - t_1) - \bar \ell / \gamma$. Sin embargo, esto es incorrecto, como puede ser visto por los verdaderos valores de $x_1$ $x_2$ en la transformación de lorentz.
La forma correcta de dibujar el diagrama de minkowski para este problema es que con tanto $\bar S$ $S$ superpuestos:
![proper minkowski diagram]()
Donde el eje de $\bar S$ han sido adecuadamente transformado por la inclinación de ellos hacia adentro en un ángulo de $\tanh(\alpha) = v/c$. Usted puede ver en esta imagen el evento $A$ no se producen de inmediato (en el $t=0$ eje) desde la perspectiva de $S$; el tren se mueve un poco hacia delante a la posición $x_1$ antes de que el frente del reloj emite un pulso de luz dirigido a la parte trasera del reloj.
la toma de distancia de este problema
Lo que me llevó lejos de este problema se puede resumir bastante concisa de la siguiente manera:
- Cuando dos eventos se produce en la misma ubicación pero diferentes tiempos en el bastidor móvil $\bar S$, en el marco del resto ve una relación directa entre esos tiempos: $\Delta t = \gamma \Delta \bar t$. Este es el tradicional tiempo dialation.
- Cuando dos eventos ocurren al mismo tiempo pero en diferentes ubicaciones en el bastidor móvil $\bar S$, en el marco del resto ve una relación directa entre esos lugares: $\Delta x = \Delta \bar x / \gamma$. Este es el tradicional de la contracción de longitud.
- Cuando dos eventos ocurren en diferentes momentos y lugares diferentes en el bastidor móvil $\bar S$, en el marco del resto ve una mezcla de tiempo y la ubicación de las relaciones; debe utilizar la completa transformación de lorentz.
El error de la aproximación ingenua que hace es una violación de la última viñeta.
