No la integridad de la $p$-ádico métrica en $\mathbb{Z}$

Question

En $\mathbb{Z}$, podemos definir el $p$-ádico métrica $d_p$ ($p$ prime) de la siguiente manera, para $m,n \in \mathbb Z$:

• Si $m=n$ $d_p(m,n) =0$
• Si $m \neq n$ $d_p(m,n) = \tfrac{1}{r+1}$ donde $p^r \mid (m-n)$ pero $p^{r+1} \not \mid(m-n)$

Es bastante sencilla de demostrar que $d_p$ es un espacio métrico (y de hecho, un ultrametric espacio, creo), sin embargo estoy teniendo un poco de problemas, mostrando que el espacio no es completa a través del ejemplo

$$ a_n = 1 + p + p^2 + \cdots + p^n = \frac{1}{p-1}(p^{n+1} - 1) $$

Mientras me las he arreglado para mostrar que $a_n$ es de Cauchy, me estoy dando cuenta que es la dificultad para probar que la sucesión no tiene límite en a $\mathbb{Z}$. Aunque la forma cerrada dada anteriormente hace que parezca muy intuitiva que $a_n \to \tfrac{1}{1-p}$, y, por tanto, el límite no está en $\mathbb Z$, no veo ninguna manera de hacer esto con el camino de $d_p$ está definido (por mucho que me encantaría usar el hecho de que $d_p(p^n,0) \to 0$, no veo una forma válida de tomar la $\tfrac{1}{p-1}$ factor). Hay alguna manera en que yo sería capaz de hacer esto a través del método anterior, o tengo que probar algún otro método para mostrar la convergencia no?

Answer 1

Tenga en cuenta que la declaración sólo es cierto para $2\not=p$ desde el si $2=p$$a_n \rightarrow -1$.

Supongamos $a_n \rightarrow a\in \mathbb{Z}$. A continuación, por el trabajo en su pregunta, la secuencia de $(p-1)a_n \rightarrow -1$. Pero por las propiedades de la métrica espacios, $(p-1)a_n\rightarrow(p-1)a$. Por lo tanto $p=2$$a=-1$, por lo que este es el único caso posible.

Alternativamente: Supongamos $a_n \rightarrow a\in\mathbb{Z}$. Escribir $a=\pm(\sum_{i=0}^Nb_ip^i)$ donde $N$ es el mayor entero tal que $p^N\leq |a|$ $0\leq b_i\leq p-1$ (lo que es posible hacer por el algoritmo de Euclides, que realmente estamos escribiendo $a$ base $p$ si usted lo prefiere pensar que es así.)

Ahora, lo que no hace uso de esta representación de la $a$ nos dicen acerca de $d(a,a_n)$? (En particular, para $n > N$?)

Edit: cuanto más pienso en ello, más difícil se hace para completar la prueba simplemente con el método alternativo. Si alguien lo puede hacer en una o dos líneas por favor deje un comentario, de lo contrario creo que la primera es mucho más limpio.