En este post, todos los espacios vectoriales son asumidos para ser real o complejo.
Deje $(X, ||\cdot||)$ ser un espacio de Banach, $Y \subset X$ un subespacio cerrado. $Y$ se llama $\underline{\mathrm{complemented}}$, si no es un subespacio cerrado $Z \subset X$ tal que $X =Y \oplus Z$ como espacios vectoriales topológicos.
Si $H$ es un espacio de Hilbert cada subespacio cerrado $Y$ se complementa; el complemento ortogonal $Y^{\bot}$ es un subespacio cerrado de $H$ y tenemos $H=Y \oplus Y^{\bot}$. Un famoso teorema de Lindenstrauß y Tzafriri (el cual puede ser encontrado en su artículo "Sobre la subespacios complementados problema", Isreal Diario de las Matemáticas, Vol. 9, Nº 2, pp 263-269) afirma que lo contrario también es cierto. Más precisamente, si $(X, ||\cdot||)$ es un espacio de Banach tal que cada subespacio cerrado se complementa, a continuación, $||\cdot||$ es inducida por un scalarproduct, es decir, $(X,||\cdot||)$ es un espacio de Hilbert.
Ahora a mi pregunta. Me puede dar un ejemplo de un espacio de Banach $(X,||\cdot||)$, que no es un espacio de Hilbert, y de un subespacio cerrado $Y \subset X$ que no se complementan? Es fácil ver que $Y$ debe ser de dimensiones infinitas y el infinito-codimensional, para cada finito-dimensional y cada una de las (cerrado) finito de codimensional subespacio complementado.
Pensé en algo como $c_{0} \subset (\ell^{\infty}, ||\cdot||_{\infty})$ el subespacio cerrado de null secuencias en el espacio de Banach de secuencias delimitadas, pero no podía producir una prueba de que no cierra complementar existe en ese caso. Me pueden ayudar, ya sea demostrando que $c_{0}$ no es complementada, si eso es cierto en absoluto) o por darme un ejemplo diferente?
