Integrar a $\cos(x^3)$ sobre los límites fijados

Question

Realmente no estoy segura del todo de cómo integrar esta función. Me preguntaba si alguien me podría ayudar,

$$\int^4_0 \int^2_{\sqrt y} \cos(x^3) \, dx \, dy$$

Las opciones de respuesta son ${1 \over 3}\sin(64);\ \sin(8);\ \cos(8)-1; \ {1 \over 3}\sin(8); \ {1 \over 3}\sin(2);\ \sin(2)$

Answer 1

Usted debe invertir el orden de integración. Dibujar una imagen de la integración de la región y rotar 90 grados. El resultado debe ser

$$\int_0^2 dx \, \int_0^{x^2} dy \, \cos{x^3} = \int_0^2 dx \, x^2 \, \cos{x^3} $$

Este debe ser capaz de hacer.

Answer 2

La función de $\cos x^3$ no tiene primaria antiderivada, entonces usted no será capaz de evaluar la integral doble en el orden actual.

Así que, vamos a cambiar el orden de integración. Los límites de la región son $0 \le y \le 4$$\sqrt{y} \le x \le 2$. Esto puede ser combinado como $0 \le y \le x^2 \le 4$. Así, los nuevos límites se $0 \le x \le 4$$0 \le y \le x^2$.

Esto nos da $\displaystyle\int_{0}^{4}\int_{\sqrt{y}}^{2}\cos x^3\,dx\,dy = \int_{0}^{4}\int_{0}^{x^2}\cos x^3\,dy\,dx$.

El interior de la integral es fácil de evaluar ya que el integrando es constante con respecto a $y$. Una vez que evaluar el interior de la integral, el exterior de la integral se puede resolver con una simple sustitución.