Duda en derivados problema

Question

Estoy en problemas con el siguiente problema:

Dar $f(x) = x^3 - 3x + 1$$g(x) = x^3 + ax^2 + b$, determine los valores de a $a$ $b$ de tal manera que tanto $f(x)$ $g(x)$ tienen el mismo máximos y mínimos relativos.

Ya sé que los máximos y mínimos relativos puede ser encontrado, aunque las raíces de la derivada, por lo $f'(x) = 3x^2 - 3$$g'(x) = 3x^2 + 2ax$. Como las raíces de la $f'(x)$ ambos ${-1, 1}$, me imaginaba a construir un sistema de ecuaciones para encontrar$a$$b$, pero siempre termino en dos 'dummy' ecuaciones, ¿ alguien sabe una manera diferente de resolver esto ?

Por cierto, el maniquí ecuaciones son cuando yo sustituto ${-1, 1}$$g(x)$. Las ecuaciones se $a + b = 4$ $a + b = -2$

Answer 1

Como los comentarios que se han señalado, debemos hacer coincidir los valores de la función en la relativa min y max (que, en este caso, no tienen el mismo $x$-valores).

Desde $f'=0$ $x=\pm1$ como raíces, sustituimos estos puntos críticos en $f$ obtener $f(-1)=-1+3+1=3$$f(1)=1-3+1=-1$. Puedes comprobar por ti mismo que realmente son extremos locales.

Establecimiento $g'=0$ rendimientos $0=3x^2+2ax=x(3x+2a) \implies x=0,-2a/3$. Substitutng estos puntos críticos en $g$ rendimientos $g(0) = 0+0+b=b$$g(-2a/3) = -8a^3/27 + 4a^3/9 + b = 4a^3/27 + b$.

Para estos dos valores de la función para $g$, es un poco difícil ver cómo debe ser emparejado con nuestros dos valores de la función para $f$, ya que realmente no puede decir que uno es más grande (ya que no sabemos si $a,b$ son positivos o negativos). Así que vamos a adivinar.

Caso 1: Supongamos que el mínimo local es $f(1)=-1=b=g(0)$. A continuación, el máximo local es $f(-1)=3=4a^3/27 + b=g(-2a/3)$. Sustituyendo $b$ y resolviendo $a$ rendimientos: $$\begin{align*} \dfrac{4a^3}{27} - 1 &= 3 \\ \dfrac{4a^3}{27} &= 4 \\ \dfrac{a^3}{27} &= 1\\ a^3 &= 27\\ a &= 3\\ \end{align*}$$ Así pues, una posible solución es $a=3, b=-1$. Compruebe por sí mismo que $g(0)=-1$ $g(-2)=3$ realmente son los extremos locales de $g$.

Caso 2: Supongamos que el mínimo local es $f(1)=-1=4a^3/27 + b=g(-2a/3)$. Entonces...?