El mapa de $\tan : ((-\frac \pi 2, + \frac \pi 2),d) \to (\mathbb R,\rho)$ donde $d$ es lo habitual en la métrica $d(x,y) = |x-y|$, es un isomorfismo de espacios métricos : es bijective y $\rho(\tan x, \tan y) = d(x,y)$. Así que tu pregunta es equivalente a: "¿Cuál es la finalización de $(-\frac \pi 2, + \frac \pi 2)$ equipada con la habitual distancia ?"
Bueno, ya $(-\frac \pi 2, + \frac \pi 2)$ es un subconjunto (que puedo decir, un sub-espacio métrico ?) de $\mathbb R$, que sabemos que es completa, su terminación es su cierre en $\mathbb R$,$[-\frac \pi 2, + \frac \pi 2]$ : sólo Tenemos que añadir dos nuevos puntos, correspondientes a las secuencias convergentes a $\pm \frac \pi 2$, o en el contexto original, secuencias divergentes a $\pm \infty$.
Por supuesto, usted puede tratar de mostrar de manera directa, pero sólo ocultar todo esto y hacer que sea más difícil.
Aquí es lo que usted tendría que probar :
- Si una secuencia $(y_n)$ diverge a $+ \infty$, entonces es equivalente a la secuencia $(x_n = n)$ : $\rho(x_n,y_n) = \arctan(n)- \arctan(y_n)$ y ya que tanto la secuencia divergen a $+ \infty$, $\arctan(n)$ y $\arctan(y_n)$ ambos convergen a $\pi/2$, lo $\rho(x_n,y_n)$ converge a $0$.
- Si una secuencia $(y_n)$ diverge a $- \infty$, entonces es equivalente a la secuencia $(x_n = -n)$
- Si una secuencia $(y_n)$ converge a $a \in \mathbb R$, entonces es equivalente a la constante de secuencia $(x_n = a)$. Este es el resultado de la continuidad de $\arctan$
- Si una secuencia es en ninguno de los tres casos, no es una secuencia de Cauchy. Esto es un poco doloroso y necesita utilizar el hecho de que $\mathbb R$ es completa
