¿Qué significa $dA$ en integrales dobles?

Question

¿Qué significa $dA$ sur $\iint_E\dots dA$ donde $E$ es una región de la $xy$ ¿Avión?

En algunas integrales utilizamos $dA=dx\,dy$ pero en otros $dA=\hat{k}\,dx\,dy$ . (Aquí $\hat {k}$ es el vector unitario en el $z$ dirección).

¿A qué se debe esta diferencia? Además, ¿existe una fórmula general para $dA$ ?

Answer 1

Consideremos un campo vectorial $\mathbf v$ . Supongamos que queremos calcular el flujo a través de una superficie orientada $\mathcal S$ . ¿Cómo será nuestra integral de flujo? $$\iint_\mathcal{S} \ldots$$ Bien, nuestro campo vectorial será como una función de peso por la que integramos nuestra superficie. Esto lo conseguimos con el producto interior $\mathbf v \cdot \hat{\mathbf N} \mathrm{dA}$ donde $\hat{\mathbf N}$ es normal a la superficie y $\mathrm{dA}$ es el elemento de superficie.

En este caso se podría elegir la notación $\mathrm d \mathbf A = \hat{\mathbf N} \,\mathrm{dA}$ para referirse al elemento vectorial de superficie .

Por lo tanto, tenemos que distinguir un elemento de superficie $\mathrm{dA}$ que podría ser $\mathrm{dx\,dy}$ de un elemento vectorial de superficie $\mathrm{d \mathbf A}$ que tiene una orientación.