En algunos casos, una clase de teoremas llamados Tauberian teoremas pueden ayudar a justificar intercambiar el orden de dos limitación de los operadores. Por ejemplo, si la integral impropia $\int_{0}^{\infty} f(x) \, dx$ existe, entonces
$$\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} x^{n} s^{n-1} f(x) \; e^{-xs} \, ds dx = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} x^{n} s^{n-1} f(x) \; e^{-xs} \, dx ds$$
tiene para todos los $n$. (Por supuesto, la existencia de las integrales iteradas también están garantizados.) Originalmente, Tauberian teoremas son respuestas a la siguiente pregunta: ¿Para qué condición (Tauberian condición) asegura que una mayor summability método implica una débil summability? Desde una fuerte summability método a menudo se aprovecha de una buena aproximación a la identidad, estos teoremas pueden considerarse como un tipo especial de intercambiar el orden de la limitación de los operadores. Por ejemplo, una función de $f(x)$ es Abel-summable a $I$ si
$$\lim_{\delta \to 0+} \int_{0}^{\infty} f(x) e^{-\delta x} \, dx$$
existe con el valor de $I$. Entonces esto se reduce a la ordinaria summability si tenemos
$$\lim_{\delta \a 0+} \int_{0}^{\infty} f(x) e^{-\delta x} \, dx =
\int_{0}^{\infty} f(x) \, dx = \int_{0}^{\infty} \lim_{\delta \a 0+} f(x) e^{-\delta x} \, dx.$$
Para la integral en cuestión, se puede entender como el valor principal de Cauchy. Es decir, podemos identificar esta integral con
$$ \lim_{\epsilon \to 0+} \sum_{n=1}^{\infty} \int_{\pi(n-1) + \epsilon}^{ \pi n - \epsilon} \frac{e^{-x}}{\sin x} \, dx.$$
Por eludir los polos, esta integral puede ser administrado a través de diversas técnicas.
