Bajo qué condiciones es la integración a través de una expansión de la serie válida por un inadecuado integral?

Question

En stackoverflow, una pregunta se le preguntó acerca de la introducción de Mathematica para evaluar la integral,

$$\int^\infty_0 \frac{e^{-x}}{\sin x} \, \mathrm{d}x$$

lo que sabemos es divergente. En una de las respuestas, el integrando se reemplaza con su expansión de Taylor, y la integración de término por término, y en la física, se da por sentado que esto funciona. Pero, ¿bajo qué circunstancias es válido para las integrales impropias, en general? Más precisamente, lo que se debe hacer correctamente el intercambio de las dos limitando los procesos?

Answer 1

Convergencia uniforme es a menudo demasiado fuerte y demasiado débil (no es suficiente para que una inadecuada integral sobre un intervalo infinito). Mejores son dominado la convergencia y la convergencia monótona (véase el Lebesgue teorema de convergencia dominada y la Lebesgue monotono teorema de convergencia).

Answer 2

En algunos casos, una clase de teoremas llamados Tauberian teoremas pueden ayudar a justificar intercambiar el orden de dos limitación de los operadores. Por ejemplo, si la integral impropia $\int_{0}^{\infty} f(x) \, dx$ existe, entonces $$\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} x^{n} s^{n-1} f(x) \; e^{-xs} \, ds dx = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} x^{n} s^{n-1} f(x) \; e^{-xs} \, dx ds$$ tiene para todos los $n$. (Por supuesto, la existencia de las integrales iteradas también están garantizados.) Originalmente, Tauberian teoremas son respuestas a la siguiente pregunta: ¿Para qué condición (Tauberian condición) asegura que una mayor summability método implica una débil summability? Desde una fuerte summability método a menudo se aprovecha de una buena aproximación a la identidad, estos teoremas pueden considerarse como un tipo especial de intercambiar el orden de la limitación de los operadores. Por ejemplo, una función de $f(x)$ es Abel-summable a $I$ si $$\lim_{\delta \to 0+} \int_{0}^{\infty} f(x) e^{-\delta x} \, dx$$ existe con el valor de $I$. Entonces esto se reduce a la ordinaria summability si tenemos $$\lim_{\delta \a 0+} \int_{0}^{\infty} f(x) e^{-\delta x} \, dx = \int_{0}^{\infty} f(x) \, dx = \int_{0}^{\infty} \lim_{\delta \a 0+} f(x) e^{-\delta x} \, dx.$$

Para la integral en cuestión, se puede entender como el valor principal de Cauchy. Es decir, podemos identificar esta integral con $$\lim_{\epsilon \to 0+} \sum_{n=1}^{\infty} \int_{\pi(n-1) + \epsilon}^{ \pi n - \epsilon} \frac{e^{-x}}{\sin x} \, dx.$$ Por eludir los polos, esta integral puede ser administrado a través de diversas técnicas.

Answer 3

Aquí's un buen tratamiento general del intercambio de la limitación de los procesos, utilizando la convergencia uniforme. Se aplica a la integración, la diferenciación y la serie por igual.