Si $f \colon [-1,1] \to \mathbb R$ satisface $\vert f'' \vert \le k$ $\vert f \vert \le \frac{k}{2}$

Question

Deje $f \colon [-1,1] \to \mathbb R$ ser una doble función derivable de s.t. $f(-1)=f(1)=0$ y no existe $k>0$ s.t. $\vert f''(x) \vert \le k$ por cada $x \in [-1,1]$. Mostrar que $$ \max_{[-1,1]}\vert f \vert \le \frac{k}{2}. $$

El libro sugiere: tome $x_0\in (-1,1)$ tal que $\vert f(x_0)\vert$ es máxima y el uso de Taylor.

Siguiendo esta sugerencia, que me escriba a: $$ f(x_0+h)=f(x_0) + \frac{f"(\xi)}{2}h^2 $$ El término lineal, $f'(x_0)=0$ (desde el punto está en el interior de $[-1,1]$ y es un máximo o un mínimo en $f$).

Ahora, ¿cómo puedo concluir? No veo cómo utilizar la hipótesis $f(-1)=f(1)=0$.

Answer 1

Tome $x_0$ tal que $|f(x_0)$ está maximizada, y tenga en cuenta que $f'(x_0)=0$. El uso de Taylor, tenemos $$f(x_0+h)=f(x_0)+f'(x_0)h+R(h)\text{ where } |R(h)|\leq \left|\frac{\max_{x\in [-1,1]}|f''(x)|}{2}h^2\right|$$ y desde $f'(x_0)=0$ esto se simplifica a $f(x_0+h)=f(x_0)+R(h)$. Si tomamos $h$ tal que $|h|\leq 1$ $x_0+h=\pm 1$ (que siempre es posible), obtenemos $0=f(x_0)+R(h)$, por lo que $$|f(x_0)|=|R(h)|\leq\left|\frac{\max_{x\in [-1,1]}|f''(x)|}{2}h^2\right|\leq \frac{k}{2}|h|^2\leq \frac{k}{2}$$ lo que completa la prueba.

Answer 2

Trate de elegir a $h$, de modo que $x_0+h$ es $-1$ o $1$ (lo que resulta en el menor $h$).