Análisis Real quals

Question

Estoy trabajando en esta pregunta: vamos a $f_n$ Lebesgue medibles convergen a $f$ $L^1(\mathbb{R})$ norma y también asumen $\|f_n\|_2\le M$ todos los $n$ (que es el $L^2$ norma de todas las $f_n$ está acotada por una constante $M$). Demostrar que:

1) $f\in L^2$

2) ¿se sigue que la $f_n$ converge a $f$ $L^2$

3) Muestran que la $\|f-f_n\|_p\to 0$ todos los $1<p<2$.

Lo que estoy haciendo es:

$|f|^2=|f-f_n+f_n|^2\le |f-f_n|^2 + 2|f_n||f-f_n| +|f_n|^2$

Yo sé que si es necesario me puede pasar a una larga de $f_n$ que converge pointwise una.e. a$f$; ¿cómo puedo razón para los dos primeros términos? Todas las sugerencias serán bienvenidos.

Para la pregunta 2 creo $f_n(x)=n\chi_{[0,1/n^2)}$ va a dar un contraejemplo.

No tengo ni idea de para 3. Las sugerencias también sería muy apreciada.

Answer 1

1) Esta es una aplicación de Fatou del lexema. Pasando a un subsequence $f_{n_k}$, podemos suponer que $f_{n_k} \to f$.e. Ahora aplicar Fatou a la no negativo secuencia $f_{n_k}^2$. Tenemos

$$\int f^2 dx \leq \liminf_{k\to \infty} \int f_{n_k}^2 \,dx \leq M^2.$$

2) el contador de ejemplo funciona aquí.

3) Esta es una aplicación de la Titular de la desigualdad. Deje $g=f-f_n$ $1<p<2$ escribir

$$|g|^p = |g|^{2p-2}|g|^{2-p}.$$

Solicitar del Titular de la desigualdad con exponentes $p'=1/(p-1)$$q'=1/(2-p)$. (Compruebe que el$p',q'>1$$1/p' + 1/q'=1$). Entonces tenemos

$$\int |g|^p dx =\int |g|^{2p-2}|g|^{2-p} dx \leq \left(\int |g|^2 dx\right)^{p-1}\left(\int|g| dx\right)^{2-p}.$$

En otras palabras

$$\|f-f_n\|_p^p \leq \|f-f_n\|_2^{2p-2}\|f-f_n\|_1^{2-p}\leq (2M)^{2p-2}\|f-f_n\|_1^{2-p}.$$

Desde $f_n\to f$$L^1$, la estimación anterior nos da la convergencia en $L^p$ todos los $1<p<2$.