Cómo calcular el siguiente límite? $$\lim\limits_{x \to \infty} \left(\frac{x^2+1}{x^2-1}\right)^{x^2}$$
Respuestas
¿Demasiados anuncios?es el mismo que el de $$ \left(\frac{1+1/n}{1-1/n}\right)^{n} $$ Sin la parte de abajo, esto le da a $e$ como es bien sabido.
$(1-1/n)^{-1} = 1+ 1/n + 1/n^2 +...$
la multiplicación obtenemos
$$ (1 + 2/n + O(n^{-2}))^n $$ Si dejamos caer la $O$ plazo llegamos $e^2.$
sigue siendo simplemente para mostrar que el error final desaparece en el límite.
Recordemos que, como $u \to 0$, por la expansión en series de Taylor, fácilmente nos han $$ \begin{align} e^u& =1+u+\mathcal{O}(u^2)\\ \ln (1+u)&=u+\mathcal{O}(u^2) \end{align} $$ giving, as $x \to \infty$, $$ x^2\ln \left(1+\frac {2}{x^2-1}\right)=x^2 \left(\frac {2}{x^2-1}+\mathcal{S}\left(\frac {1}{x^4}\right)\right)=2+\mathcal{S}\left(\frac {1}{x^2}\right) $$ y $$ \begin{align} \Big(\frac{x^2+1}{x^2-1}\Big)^{x^2}&=\Big(\frac{x^2-1+2}{x^2-1}\Big)^{x^2}\\\\ &= \left(1+\frac {2}{x^2-1}\right)^{x^2}\\\\ &=e^{\large x^2\ln \left(1+\frac {2}{x^2-1}\right)}\\\\ &=e^{\large 2+\mathcal{O}(\frac {1}{x^2})}\\\\ &\to e^2 \end{align} $$
Puede hacerlo usando la regla de L'Hospital de esta manera:
$$\begin{align} \lim\limits_{x \to \infty} \Big(\frac{x^2+1}{x^2-1}\Big)^{x^2} = \lim\limits_{x \to \infty} \exp\ln\Big(\frac{x^2+1}{x^2-1}\Big)^{x^2} &= \lim\limits_{x \to \infty} \exp x^2\ln\Big(\frac{x^2+1}{x^2-1}\Big) \\ &= \exp \lim\limits_{x \to \infty} \frac{\ln(x^2+1)-\ln(x^2-1)}{x^{-2}} \\ &= \exp \lim\limits_{x \to \infty} \frac{2x(x^2+1)^{-1}-2x(x^2-1)^{-1}}{-2x^{-3}} \\ &= \exp \lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^4(x^2+1)-x^4(x^2-1)}{(x^2+1)(x^2-1)} \\ &= \exp \lim\limits_{x \to \infty} \frac{2x^4}{(x^2+1)(x^2-1)} \\ &= e^2 \end{align}$$
Es permisible para intercambiar las $\exp$ $\lim$ entre líneas uno y dos, debido a que la función exponencial es continua, y de L'Hospital de la regla que se aplica entre las líneas dos y tres.
Digamos que saber la definición de la $e$ $\displaystyle e=\lim_{x\to \infty }\Big(1+\frac{1}{x}\Big)^x$ \begin{align} \lim_{x\to \infty }\Big(\frac{x^2+1}{x^2-1}\Big)^{x^2}&=\lim_{x\to \infty }\Big(1+\frac{2}{x^2-1}\Big)^{x^2}\\ &=\lim_{y\to \infty }\Big(1+\frac{2}{y}\Big)^{y+1}\\ &=\lim_{y\to \infty }\Big(1+\frac{2}{y}\Big)^{1} \times \lim_{y\to \infty }\Big(1+\frac{2}{y}\Big)^{y}\\ &=\lim_{y\to \infty }\Big(1+\frac{1}{y/2}\Big)^{y}\\ &=\lim_{t\to \infty }\Big(1+\frac{1}{t}\Big)^{2t}\\ &=\Big[\lim_{t\to \infty }\Big(1+\frac{1}{t}\Big)^{t}\Big]^2\\ &=e^2. \end{align} Nota: $y=x^2$ luego $t=y/2$.