División en ecuaciones diferenciales cuando la función de división es igual a $0$

Question

Cuando se dividen dos funciones: $$h(x)=\frac{f(x)}{g(x)},$$

¿Cómo tomamos en cuenta los puntos en los que $g(x)=0$?

Un ejemplo es al resolver una EDP por separación de variables: Sea $\phi(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)$, entonces:$$\nabla^2\phi=0\leftrightarrow YZX''+ZXY''+XYZ''=0$$Todos los libros de $\bf {matemáticas}$, en este paso, dividen ambos lados por XYZ, lo que lleva a:$$\frac{X''}{X}+\frac{Y''}{Y}+\frac{Z''}{Z}=0$$ Pero ninguno de ellos explica por qué tal operación es válida cuando no hay requisito de que $X,Y,Z$ no sean ceros.

Otro ejemplo es la ecuación de Sturm-Liouville. En algunos libros, tiene la forma:$$[p(x)y']'+[q(x)+\lambda r(x)]y=0$$ Sin embargo, otros libros dividen ambos lados por $r(x)$ y reorganizan los términos para obtener otra forma (sin justificación para la división):$$\frac{1}{r(x)}[(p(x)y')'+q(x)y]+\lambda y=0$$ Pero todos sabemos que un problema de Sturm-Liouville puede ser singular, lo que significa que $r(x)$ podría ser cero en un punto final. Obviamente, las dos formas de la ecuación de Sturm-Liouville mencionadas anteriormente no son algebraicamente equivalentes entre sí.

Answer 1

Es cierto que estás preocupado al respecto. Podría ser que $\phi$ nunca sea cero, en cuyo caso ninguno de $X,Y,Z$ pueden serlo. Un ejemplo sería el campo eléctrico de una carga puntual, donde $\phi$ tiende a $0$ en el infinito pero no es cero en ningún lugar. Podría ser que $\phi$ sea cero solo en puntos aislados. En esos casos a menudo puedes ignorarlos al principio, encontrar tu solución y verificar que funcione también en esos puntos. A veces tienes que tratarlo en un sentido límite.

Answer 2

Estoy totalmente de acuerdo contigo. Pero creo que la razón por la que los libros de texto no tratan el caso de un denominador cero es darte algún tipo de "conjetura" de la fórmula exacta de la solución. En particular, tales métodos deberían tener sentido para denominadores no nulos en el siguiente sentido: Supongamos que estás buscando soluciones diferenciables. Entonces, por la continuidad de la solución (que proviene de tu suposición), el denominador debería ser distinto de cero no solo en este punto, sino también en un entorno de este punto, lo que significa que los cálculos diferenciales que involucran denominadores también son válidos. Por lo tanto, para los puntos no nulos, tales métodos tienen sentido. Por supuesto, no creo que estos métodos puedan explicar totalmente la distribución de los ceros.

Para completar, considera por ejemplo la EDO $\dot{x}=x^2,x(0)=x_0$. Separando variables tenemos la solución $x=\frac{1}{\frac{1}{x_0}-t}$. Pero este método solo está disponible para $x\neq 0$. De hecho, debido al teorema de Picard-Lindelöf, sin importar si $x_0$ es cero o no, sabemos que una solución única $x$ existe y solo está definida en un intervalo abierto maximal $(a,b)$. Para $x_0\neq 0$, deducimos que $a>-\infty$ o $b<\infty$. Para $x_0=0$, obtenemos solo la solución trivial $x=0. A partir de esto se deduce la siguiente conclusión: Normalmente, primero demostramos que una solución diferenciable existe, con suerte incluso única. En segundo lugar, podemos reconstruir dichas soluciones utilizando el método dado en el OP. Este es también el método general en la investigación matemática: Primero la existencia y la unicidad, luego la expresión exacta de la solución.

Volviendo a la EDO $\dot{x}=x^2$, uno también puede definir de manera equivalente la ecuación diferencial $\frac{\dot{x}}{x^2}=1$. Pero esta expresión no tiene sentido en $x=0$. Esto también debe aclararse. En algunos casos, se puede definir esto en espacios de Lebesgue, que permiten puntos singulares de medida cero. Pero en la mayoría de los casos, los matemáticos prefieren una expresión de producto en lugar de una división. De hecho, este es el trabajo que realmente deberías hacer al principio: ¿Qué tipo de soluciones estás buscando, con qué tipo de espacios estás trabajando, etc.? Con todas las definiciones, ahora puedes definir una pregunta "bien definida" y buscar una solución "bien definida".

Espero que esto te ayude a entender mejor este problema.

Answer 3

La mayoría de las veces, esto es implícito en la física. Simplemente resolvemos la ecuación sin tener en cuenta esos problemas, y vemos si funciona en los puntos de desaparición.

Sin embargo, en matemáticas, necesitarías cortar tu intervalo de x en los puntos de desaparición, resolver en estos intervalos cortados por separado, y luego estudiar el comportamiento de la solución en los cortes para ver si el problema admite una solución general sobre todos los posibles valores de x.

Answer 4

Su preocupación es válida pero puede considerar el caso en el que al menos uno de los componentes de la forma general de la respuesta es cero, lo que lleva a una respuesta trivial de todo cero que satisface la ecuación. Cuando se habla de la ecuación de Sturm-Liouville o algo así y también las condiciones que deben cumplir las respuestas, podemos posponer la condición de ser cero y considerar el comportamiento limitante alrededor del punto donde la respuesta se vuelve cero. Para ser más preciso, este tipo de división sin importar si cada uno de los componentes es cero o no es cierto cuando el conjunto de puntos donde al menos un componente es cero es un conjunto de cero.

Answer 5

Por supuesto, dividir por $XYZ$ asume que $X(x) \neq 0$, $Y(y) \neq 0$ y $Z(z) \neq 0$, porque si alguno de ellos es cero, esto dará lugar a $\phi(x, y, z) = 0$, es decir, una solución nula a la ecuación diferencial parcial dada $\nabla^2\phi=0.

Las soluciones nulas no son de importancia práctica y a menudo se descartan. Un ejemplo para mostrar esto es el siguiente:

Suponga que se requiere producir un movimiento armónico simple con la ayuda de un péndulo dado. Una manera de hacer esto es simplemente observar el péndulo sin darle ninguna desviación inicial, lo que no es más que la solución $y=0$ a la EDO $y''=-ky$.