Determinar si $h: A → \mathbb{C}$ es un anillo homomorphism

Question

Deje $A =\{\begin{pmatrix}a & b\\-b & a\\\end{pmatrix}: a,b \in R\},$ que es un subconjunto de un anillo de $M_2( \mathbb R)$. Definir $h:A→\mathbb{C}$ por $h\begin{pmatrix}a & b\\-b & a\\\end{pmatrix}=a+bi$, $\forall \begin{pmatrix}a & b\\-b & a\\\end{pmatrix} \in A$

1. Determinar si $h: A → \mathbb{C}$ es un anillo homomorphism.
2. Determinar si $h: A → \mathbb{C}$ es un anillo de isomorfismo.

Mi Intento: (finalmente descubrió 1)

1. $h\begin{pmatrix}a+c & b+d\\-b-d & a+c\\\end{pmatrix} = (a+c)+(b+d)i$ $h\begin{pmatrix}a & b\\-b & a\\\end{pmatrix} + h\begin{pmatrix}c & d\\-d & c\\\end{pmatrix} = (a+bi)+(c+di) = (a+c)+(c+d)i$

$h\begin{pmatrix}ac-bd & bc+ad\\-(bc+ad) & ac-bd\\\end{pmatrix} =(ac-bd)+(ad+bc)i$ $h\begin{pmatrix}a & b\\-b & a\\\end{pmatrix}*h\begin{pmatrix}c & d\\-d & c\\\end{pmatrix}=(a+bi)(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i$ .

Edit puedo ver $h$ es surjective, pero todavía estoy confundido sobre cómo comprobar si es o no $h$ es inyectiva?

Answer 1

para la 1 de la multiplicación de la estructura en $M_2 (\mathbb{R})$ está dada por la multiplicación de la matriz, entonces lo que hay que comprobar es si h(AB)=h(a)h(B), con AB normal de la multiplicación de la matriz.

Si ha terminado de 1, 2, usted debe comprobar si h es inyectiva y surjective. Concretamente $\forall c\in \mathbb{C}$ hay $m \in M_2 (\mathbb{R})$ s.t. $h(m) = c$ (surjectivity), y no $h(c) = 0 \implies c = 0$ (inyectividad).