Es $\{\{\emptyset\}\}$ realidad un conjunto?

Question

Creo que esta cuestión no se plantea aquí. Me disculpo de antemano si me equivoco.

Tengo las siguientes dos definiciones (Joaquín Olivert, Estructuras de álgebra multilineal, 1996):

Clase.- Una clase es un objeto abstracto,$C$, lo que permite decidir si sus elementos pertenecen a ella o no.

Conjunto.- Una clase de $C$ se dice que es un conjunto, si existe una clase de $D$ tal que $C\in D$. Una clase que no es una serie que se llama una clase adecuada.

Con esto en mente, estoy tratando de comprender si $A=\{\{\emptyset\}\}$ es un conjunto o no y por qué. A mí me parece que la respuesta debe ser no, pero con estas definiciones, creo $\{ A \}$ es una clase y, a continuación, $A$ es un conjunto. Por otro lado, con este razonamiento, cada clase sería un conjunto y lo que es falso (por ejemplo, Russell conjunto).

Cualquier ayuda por favor?

Gracias

Answer 1

En ZF(C) la teoría de conjuntos, el Axioma de la Vinculación de los estados que si $x$ $y$ son conjuntos, entonces a $\{x,y\}$ es un conjunto demasiado. La aplicación de este con $x=y$ da que cada vez que $x$ es un conjunto, $\{x\}$ es un conjunto demasiado (porque tiene los mismos elementos como $\{x,x\}$ y es, por tanto, igual a ella).

Por lo tanto,

• $\varnothing$ es un conjunto porque de el Axioma del Conjunto Vacío. (A veces esto no se considera un axioma, en cuyo caso $\varnothing$ es todavía un conjunto debido a que el Axioma de Infinitud de los estados que existe algún conjunto y, a continuación, el Axioma de Separación puede ser utilizado para eliminar todos sus elementos).
• $\{\varnothing\}$ es un conjunto dado de Vinculación aplicadas a $\varnothing$.
• $\{\{\varnothing\}\}$ es un conjunto dado de Vinculación aplicadas a $\{\varnothing\}$.

Su definición de "conjunto" suena como que no pertenece a la pura ZF(C), pero es más probable que NBG o MK teoría de conjuntos. Sin embargo, estas teorías tienen similares axiomas de Conjunto Vacío y de Vinculación, por lo que el argumento (al menos en la no formal nivel estoy escribiendo a) es el mismo.

Answer 2

$A=\{\{\varnothing\}\}$ es un conjunto, no una clase adecuada, porque tenemos $A=\{\{\varnothing\}\}\in\{A\}=\{\{\{\varnothing\}\}\}.$ $\{A\}$ no es una clase cualquiera, porque tenemos $\{A\}\in\{\{A\}\}.$

Axiomáticamente, por lo general se asume que el $\varnothing$ es un conjunto, y para cualquier conjunto, el singleton que contiene ese conjunto es un sett (por ejemplo a través de la asxiom de emparejamiento), por lo que $\{\varnothing\},$ $\{\{\varnothing\}\}$, etc, son todos los conjuntos, y no adecuado de las clases.

En la habitual universos axiomática de la teoría de conjuntos, para que algo sea una clase adecuada, y no un conjunto, no debe ser muy grande. Por ejemplo, la clase de todos los conjuntos, la clase de todos los cardenales, o la clase de todos los ordinales. Estas clases no están incluidas en otras clases.