Calcular $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!\cdot 2^n}$

Question

Calcular la suma $$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!\cdot 2^n}$$ donde $(2n-1)!!=1\cdot 3\cdots (2n-1)$ , $(2n)!!=2\cdot 4 \cdots 2n$

Utilizando Wolframalpha, el resultado es $\sqrt{2}-1$ . Pero no tengo ninguna idea para llegar a ese resultado.

Muchas gracias.

Answer 1

En primer lugar, hay que tener en cuenta que

$$(2n-1)!!=\frac{(2n)!}{2^nn!}$$

y $(2n)!!=2^nn!$ Así que

$$\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!\cdot2^n}=\frac{(2n)!}{2^nn!\cdot2^nn!\cdot2^n}=\frac1{2^{3n}}\binom{2n}n\;.$$

Ahora utiliza la serie de potencias

$$\frac1{\sqrt{1-4x}}=\sum_{n\ge 0}\binom{2n}nx^n\;,\tag{1}$$

la función generadora del coeficientes binomiales centrales . $\binom{2n}n\le 4^n$ para $n\ge 1$ Así que $(1)$ converge ciertamente en $x=\frac18$ y tenemos

$$\sqrt2=\frac1{\sqrt{1-1/2}}=\sum_{n\ge 0}\binom{2n}n\left(\frac18\right)^n=\sum_{n\ge 0}\frac1{2^{3n}}\binom{2n}n=1+\sum_{n\ge 1}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!\cdot2^n}\;.$$

Answer 2

Desde $(2n)!! = 2^n n!$ y $(2n - 1)!! = (2n-1)(2n-3)\cdots 5\cdot 3\cdot 1$ ,

\begin {align} \sum_ {n = 1}^ \infty \frac {(2n-1)!!}{(2n)!!2^n} &= \sum_ {n = 1}^ \infty \frac {(2n-1)(2n-3) \cdots 5 \cdot 3 \cdot 1}{2^n n!} \frac {1}{2^n} \\ & = \sum_ {n = 1}^ \infty \frac { \left (n - \frac {1}{2} \right ) \left (n - \frac {3}{2} \right ) \cdots \left ( \frac {3}{2} \right ) \left ( \frac {1}{2} \right )}{n!} \frac {1}{2^n} \\ &= \sum_ {n = 1}^ \infty \frac { \left (- \frac {1}{2} - n + 1 \right ) \left (- \frac {1}{2} - n + 2 \right ) \cdots \left (- \frac {1}{2} \right )}{n!} \left (- \frac {1}{2} \right )^n \\ &= \sum_ {n = 0}^ \infty \binom {-1/2}{n} \left (- \frac {1}{2} \right )^n - 1 \\ &=(1 - 1/2)^{-1/2} - 1 \\ &= \sqrt {2} - 1. \end {align}